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Fiche concise Thèses
Oscillateurs couplés, désordre et synchronisation
Luçon E.
Thèses. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (19/06/2012), Giambattista Giacomin; Lorenzo Zambotti (Dir.)
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Eric Luçon (, http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/eric/)1
1 :  LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
http://www.proba.jussieu.fr/
CNRS : UMR7599 – Université Pierre et Marie Curie (UPMC) - Paris VI – Université Paris VII - Paris Diderot
France
Oscillateurs couplés, désordre et synchronisation
Coupled oscillators, disorder and synchronization
19/06/2012
Dans cette thèse, nous étudions le modèle de synchronisation de Kuramoto et plus généralement des systèmes de diffusions interagissant en champ moyen, en présence d'un aléa supplémentaire appelé désordre. La motivation principale en est l'étude du comportement du système en grande population, pour une réalisation fixée du désordre (modèle quenched). Ce document, outre l'introduction, comporte quatre chapitres. Le premier s'intéresse à la convergence de la mesure empirique du système d'oscillateurs vers une mesure déterministe, solution d'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires couplées (équation de McKean-Vlasov). Cette convergence est prouvée indirectement via un principe de grandes déviations dans le cas averaged et directement dans le cas quenched, sous des hypothèses plus faibles sur le désordre. Le deuxième chapitre est issu d'un travail en commun avec Giambattista Giacomin et Christophe Poquet et concerne la régularité des solutions de l'EDP limite ainsi que la stabilité de ses solutions stationnaires synchronisées dans le cas d'un désordre faible. Les deux derniers chapitres étudient l'influence du désordre sur une population d'oscillateurs de taille finie et illustrent des problématiques observées dans la littérature physique. Nous prouvons dans le troisième chapitre un théorème central limite quenched associé à la loi des grands nombres précédente: on montre que le processus de fluctuations quenched converge, en un sens faible, vers la solution d'une EDPS linéaire. Le dernier chapitre étudie le comportement en temps long de cette EDPS, illustrant le fait que les fluctuations dans le modèle de Kuramoto ne sont pas auto-moyennantes.
In this thesis, we study the synchronization Kuramoto model and more generally systems of mean-field interacting diffusions on the circle, in the presence of another source of randomness, called disorder. The main motivation of this work is to study the large-population behavior of the system, for a fixed realization of the disorder (quenched model). This document contains, after the introduction, four chapters. The first one addresses the convergence of the empirical measure of the system of oscillators to a deterministic measure that solves a system of coupled, nonlinear partial differential equations (McKean-Vlasov equation). This convergence is indirectly proved through a large deviation principle in the averaged case and through a direct proof in the quenched case, under weaker assumptions on the disorder. The second chapter is part of a joint work with Giambattista Giacomin and Christophe Poquet and concerns the regularity of solutions of the limiting PDE as well as the stability of its nontrivial synchronized solution in the case of weak disorder. The last two chapters tackle the issue of the influence of the disorder on finite-size populations of rotators and illustrate problematics already observed in physical literature. We prove in the third chapter a central limit theorem associated to the previous law of large numbers: the quenched fluctuation process is shown to converge, in a weak sense, to the solution of a linear SPDE. We study in the last chapter the large-time behavior of this solution, illustrating the fact that fluctuations in the Kuramoto model are not self-averaging.
Mathématiques/Probabilités

Université Pierre et Marie Curie - Paris VI
Ecole doctorale Sciences Mathématiques de Paris Centre
mathématiques
Français

Giambattista Giacomin; Lorenzo Zambotti
Paolo Dai Pra (rapporteur)
Giambattista Giacomin (co-directeur)
Benjamin Jourdain (examinateur)
Sylvie Méléard (examinatrice)
Benoit Perthame (examinateur)
Lorenzo Zambotti (co-directeur)

Synchronisation – modèle de Kuramoto – processus de diffusion interagissants – mécanique statistique – systèmes désordonnés – systèmes hors-équilibre – grandes déviations – EDP non linéaires – équations aux dérivées partielles stochastiques
Synchronization – Kuramoto model – interacting diffusion processes – statistical mechanics – disordered systems – non-equilibrium systems – large deviations – nonlinear PDE – stochastic partial differential equation