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Fiche détaillée Thèses
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (28/09/2006), Patrick L. COMBETTES (Dir.)
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Approximation et résolution de problèmes d'équilibre, de point fixe et d'inclusion monotone
Sever Adrian Hirstoaga1

Cette thèse est consacrée à la résolution de trois types de problèmes fondamentaux qui apparaissent en analyse fonctionnelle hilbertienne non-linéaire et dans ses applications : les problèmes d'équilibre pour les bifonctions monotones, les problèmes de point fixe pour les contractions, et les problèmes d'inclusion pour les opérateurs monotones. Notre objectif est d'élaborer de nouvelles méthodes d'approximation et de construction de solutions pour ces problèmes et d'étudier leur comportement asymptotique. Dans un premier temps, nous proposons de nouvelles perturbations visqueuses et visco-pénalisées de ces problèmes, et étudions le comportement asymptotique des courbes d'approximation associées quand la perturbation devient évanescente. Nous étudions ensuite les propriétés de divers systèmes dynamiques discrets et continus associés à ces courbes. Cette étude débouche en particulier sur de nouveaux algorithmes, dont la convergence est établie. Des applications numériques à des problèmes de restauration en traitement de l'image sont fournies pour illustrer la mise en œuvre et les performances de certains des algorithmes proposés.
1 :  CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision
analyse convexe – courbe d'approximation – viscosité évanescente – régularisation – pénalisation – inéquation variationnelle – méthode itérative – opérateur maximal monotone – contraction – problème d'équilibre – système dynamique – théorie du point fixe – restauration d'image.

Approximation and numerical solution of equilibrium, fixed-point and monotone inclusion problems
This thesis is devoted to solving three basic types of problems which
arise in nonlinear hilbertian functional analysis and its applications: equilibrium problems for monotone bifunctions, fixed point problems for nonexpansive operators, and inclusion problems for monotone operators. Our aim is to devise new methods to approximate and construct solutions to these problems, and to study their asymptotic behavior. We first propose new viscous and visco-penalized perturbations for these problems and investigate the asymptotic behavior of the associated approximating curves as the perturbation vanishes. We then study the properties of discrete and continuous dynamical systems associated with these approximating curves. This investigation gives rise in particular to new algorithms, the convergence of which is established. Numerical applications to image restoration problems are provided to illustrate the implementation and the performance of some of the proposed algorithms.
convex analysis – approximating curve – vanishing viscosity – regularization – penalization – variational inequality – iterative method – maximal monotone operator – nonexpansive operator – equilibrium problem – dynamical system – fixed-point theory – image restoration.