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Fiche détaillée Thèses
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (06/11/1998), Giacomini Hector (Dir.)
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Les attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs de Lorenz et de Liénard : nombre, forme et localisation
Sebastien Neukirch1

Le sujet de la thèse se situe dans le cadre de l'étude des équations différentielles ordinaires et des systèmes dynamiques non linéaires. La thèse présente une étude des attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs. En particulier, l'attracteur chaotique de Lorenz et les cycles limites des systèmes de Liénard. La première partie est dédiée au système de Lorenz. Ce système est obtenu par simplication des équations de Boussinesq fourmulées dans la cadre de la convection de Rayleigh-Bénard. Le système de Lorenz est important car il est le premier à avoir exhibé un comportement chaotique. On utilise des sections transverses (courbes ou surfaces qui ne sont traversées par le flot que dans un seul sens sur toute leur étendue) pour acquerir de l'information sur l'attracteur chaotique du système. Pour cela, on utilise les formes algébriques des intégrales du mouvement pour trouver des équations de sections tranverses. L'existance des ces sections transverses pour des plages de valeurs des paramètres nous permet de donner des limites algébriques à l'attracteur chaotique du systeme quand celui ci existe mais aussi de donner des plages de valeur des paramètres pour lesquelles il n'y a pas de comportement chaotique possible. La deuxième partie de la thèse présente un algorithme formel qui donne accès au nombre de cycles limites des systèmes de Liénard. En plus du nombre, on obtient une approximation algébrique de l'equation ainsi que la multiplicité de chacun de ces cycles. Le grand intérêt de cet algorithme est qu'il ne repose pas sur l'existence d'un petit paramètre (l'algorithme n'est pas perturbatif) et qu'il change le problème initial de résoudre une équation differentielle nonlinéaire en un problème algébrique de compter les racines d'un polynôme à une variable. On obtient aussi grâce à cet algorithme des approximations algébriques des courbes de bifurcations (de Hopf, saddle-node, hétérocline) des systèmes de Liénard.
1 :  LMPT - Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique
équations différentielles – Système de Lorenz – Systèmes dynamiques – Système de Liénard – Chaos – Attracteur – Cycle limite – Algorithme.

Dissipative dynamical systems : the shape of the Lorenz chaotic attractor and the number of Lienard limit cycles
This thesis deals with the study of differential equations and nonlinear dynamical systems. A study of dissipative dynamical systems' attractors is presented. In particular, the chaotic Lorenz attractor and the limit cycles of Liénard systems are studied. The first part is dedicated to the Lorenz system. This system is obtained when simplifying the Boussinesq equation involved in the Rayleigh-Bénard convection. The importance of the Lorenz systems lies in the fact that it is the first one to exhibit a chaotic flow. We make use of transverse sections (surfaces or curves that are crossed by the flow in only one direction) to gain information on the chaotic attractor of the system. We use the algebraic structure of the integrals of motion to find the equations of the transverse sections. These transverse sections allow us to give algebraic bounds to the spread of the attractor when it exists but also to give ranges of values of the parameters for which no chaotic behavior is possible. The second part introduce a simple algorithm which gives the number of limit cycles in Liénard systems. Moreover, we obtain an algebraic approximation and the multiplicity of each of the limit cycle. This algorithm is not perturbative as it does not need a small parameter to work. In fact it changes the initial problem of solving differential equations into searching the number of roots of a one variable polynomial. Furthermore we obtain, thanks to this algorithm, algebraic approximations to the bifurcation curves (Hopf, saddle-node, heteroclinic) of the Liénard systems.
Differential equations – Lorenz system – Dynamical systems – Liénard system – Chaos – Attractor – Limit cycle – Algorithm.