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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (16/12/2003), Bertoin Jean (Dir.)
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Coalescence et fragmentation stochastiques, arbres aleatoires et processus de Levy
Gregory Miermont1

Nous etudions certains processus stochastiques de coalescence ou de fragmentation a l'aide de codages par des arbres aleatoires ou des processus de Levy. Dans un premier temps, nous decrivons le semigroupe d'une classe de fragmentations "ordonnees" associees a des excursions de processus de Levy sans sauts positifs, et reliees au processus de coalescence stochastique additif. Nous demontrons des resultats negatifs sur le semigroupe de certaines fragmentations dites auto-similaires, introduites par Bertoin. Puis, nous etudions deux processus de fragmentation auto-similaires "duaux" obtenus a partir de l'arbre continu stable de Duquesne et Le Gall. Nous obtenons une caracterisation complete de leurs lois. Nous codons egalement la genealogie de toute fragmentation auto-similaire d'indice negatif dans un arbre continu. Enfin, nous etudions les arbres continus inhomogenes d'Aldous, Camarri et Pitman, obtenus comme limite continue des p-arbres discrets. Nous donnons l'expression de leurs processus de hauteur et de largeur a l'aide de ponts a accroissements echangeables. Nous obtenons egalement des resultats asymptotiques, formules en termes d'un pont brownien reflechi, sur le modele des p-applications a l'aide de leurs liens avec les p-arbres.
1:  LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
coalescence additive – fragmentation auto-similaire – arbre continu – arbre stable – processus de Levy
http://www.dma.ens.fr/~miermont

We study certain stochastic processes involving either coalescence or fragmentation, with the help of random trees and Levy processes. We first describe the semigroup of a class of ordered fragmentations related to excursions of Levy processes with no positive jumps. These are in turn related to the so-called additive coalescent process. We provide negative results on the semigroup of certain fragmentations with a property called self-similarity, which has been introduced by Bertoin. Then, we study two "dual" devices for fragmenting the so-called continuum stable tree of Duquesne and Le Gall, giving rise to a pair of self-similar fragmentations, whose characteristics are entirely determined. We also encode the genealogy of self-similar fragmentations with negative index into continuum random trees. Last, we study the inhomogeneous continuum random trees of Aldous, Camarri and Pitman, obtained as a limit of random discrete p-trees. We describe the height and width processes of such trees as functionals of bridges with exchangeable increments. We also prove asymptotic results on p-mappings, which are formulated in terms of reflecting Brownian bridge, by connecting this model with the p-trees.