Stochastic differential equations with singular drift and (fractional) Brownian noise
Equations différentielles stochastiques avec une dérive singulière et un bruit brownien (fractionnaire)
Résumé
Existence and uniqueness of solutions to stochastic differential equations with singular or even distributional drift and additive (fractional) Brownian noise are studied. In the fractional Brownian case existence and uniqueness is proven for a larger class of drifts compared to the previous literature, making use of both nonlinear Young integrals and the recently introduced Stochastic Sewing Lemma. Moreover, for any positive time, the law of the solution is shown to have a density and its regularity is investigated.Some of the techniques involved are of a rather deterministic nature. This naturally leads to the notion of ``path-by-path" uniqueness which is conceptually stronger than the usual notions of uniqueness to stochastic differential equations. In the Brownian case, path-by-path uniqueness is shown for a class of singular drifts extending the previous literature on bounded drifts. Additionally, counterexamples are provided, exhibiting that path-by-path uniqueness is indeed stronger than the usual notions of uniqueness. In particular, this implies that there are stochastic differential equations with solutions that are not adapted.
On étudie l'existence et l'unicité des solutions d'équations différentielles stochastiques avec une dérive singulière ou même distributionnelle et un bruit brownien (fractionnaire) additif. Dans le cas brownien fractionnaire, l'existence et l'unicité sont démontrées pour un ensemble de dérives plus grand que ce qui était connu auparavant, en utilisant à la fois les intégrales de Young non linéaires et le lemme de la couturière stochastique (Stochastic Sewing Lemma) récemment découvert. De plus, pour tout temps positif, on montre que la loi de la solution a une densité et on étudie sa régularité.Certaines des techniques utilisées sont de nature plutôt déterministe. Cela conduit naturellement à la notion d'unicité "trajectoire par trajectoire" qui est conceptuellement plus forte que les notions habituelles d'unicité pour les équations différentielles stochastiques. Dans le cas brownien, l'unicité "trajectoire par trajectoire" est démontrée pour une classe de dérives singulières, étendant ainsi la littérature précédente sur les dérives bornées. En outre, des contre-exemples sont fournis, montrant que l'unicité "trajectoire par trajectoire" est effectivement plus forte que les notions habituelles d'unicité. En particulier, cela implique qu'il existe des équations différentielles stochastiques dont les solutions ne sont pas adaptées.
Origine : Version validée par le jury (STAR)