Stabilization under local and global constraints
Stabilisation sous contraintes locales et globales
Résumé
In this work, two problems from stability theory were studied: the design of stabilizing feedback laws, and analysis of the stability of interconnected systems under local and global constraints. Regarding the synthesis, the problem was to design a control law for systems where the Backstepping technique can not be applied to globally stabilize the origin but to render desired set globally attractive. Then, the problem of designing a control law that stabilizes the origin locally asymptotically stable was considered so that the basin of attraction contains the global attractor. The overall stability is achieved through a switching of the feedback laws. For the analysis, it was considered the case where the small gains theorem can not be applied in a finite interval of positive real numbers. The approach is to use the analysis of small gains where it is applicable and, outside these regions, it was studied the variation in the measure of the set of solutions. Sufficient conditions were provided to ensure that the set of initial conditions for which the corresponding solutions do not converge to the origin have Lebesgue measure zero.
Dans ce travail, deux problèmes issus de la théorie de la stabilité ont été étudiés: la synthèse de loi de commandes stabilisantes et l'analyse de la stabilité des systèmes interconnectés sous contraintes locales et globales. En ce qui concerne la synthèse, la problématique a été de concevoir une loi de commande pour les systèmes où la technique de Backstepping ne peut pas être appliquée pour stabiliser globalement l'origine mais s'avère utile pour stabiliser le système autour d'un ensemble désiré. Ensuite, il a été considéré le problème de concevoir une loi de commande qui stabilise localement l'origine de telle sorte que le bassin d'attraction contienne l'ensemble attracteur global. La stabilité globale est obtenue à travers une commutation des lois de commande. Pour l'analyse, il a été considéré le cas où le théorème des petits gains ne peut pas être appliqué dans un intervalle fini des réels positifs. L'approche consiste à utiliser l'analyse des petits gains où il est applicable et, dehors de ces regions, il a été étudié la variation de la mesure de l'ensemble des solutions. Des conditions suffisantes sont fournies pour que l'ensemble des conditions initiales pour lesquelles les solutions correspondantes ne convergent pas à l'origine ait une mesure de Lebesgue à zéro.