Random Walks among Random Conductances
Marches Aléatoires avec Conductances Aléatoires
Résumé
This thesis deals with an important class of RWRE called Random walks among random conductances. We give tree principal results showing opposite behaviors, \textit{anomalous} and\textit{ standard}, of the heat-kernel of random walks among polynomial lower tail random conductances. The first two results (cf. Chapter \ref{chap2}) concern discrete-time, symmetric, $\Z^{d}$-valued random walks in random environments, driven by a field of i.i.d. random nearest-neighbor conductances $\omega_{xy}\in[0,1]$, with polynomial tail near $0$ with exponent $\gamma>0$. We first prove for all $d\geq$ that the return probability shows an anomalous decay (non-gaussian) that approaches (up to sub-polynomial terms) a random constant times $n^{-2}$ when we push the power $\gamma$ to zero. In contrast, we prove that the heat-kernel decay is, in a logarithmic sense, as close as we want to the standard decay $n^{-d/2}$ for large values of the parameter $\gamma$. \\ We consider in the third result (cf. Chapter \ref{chap3}) the same Markov chains in the continuous-time case and study the decreasing of the return probability $P_\omega^{t}(0,0)$, when $t$ tends to $+\infty$. We show that for $\gamma> \frac{d}{2}$, the standard bound turns out to be of the correct logarithmic order, i.e., $$ \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\log P^\omega_{0}(X_t=0)}{\log t}=-\frac{d}{2}. $$ As an expected consequence, the same result holds for the discrete-time case.
L'objet de cette thèse est l'étude d'une classe importante de marches aléatoires en milieu aléatoire, appelée Marches aléatoires avec conductances aléatoires. Nous présentons trois principaux résultats montrant des comportements opposés, irrégulier et standard du noyau de la chaleur des marches aléatoires avec conductances aléatoires à queue polynômiale. Les deux premiers (cf. Chapitre 2) portent sur les marches aléatoires simples dans $\Z^d, d\geq2$, gouvernées par une famille de conductances aléatoires i.i.d. $\omega_{xy}\in[0,1]$, avec une queue polynomiale d'exposant $\gamma>0$ au voisinage de $0$. Nous montrons en premier lieu pour tout $d>4$ que la probabilité de retour $P^{2n}_\omega(0,0)$ décroit de fa\c con irrégulière en ce sens qu'elle admet une borne inférieure que l'on peut rendre, à un terme sous-polynomial près, aussi proche que l'on veut de $n^{-2}$ en laissant le paramètre $\gamma$ tendre vers $0$. En considérant le même modèle et à l'opposé du premier résultat, nous montrons en second lieu pour tout $d\geq2$ que le noyau de la chaleur de la marche aléatoire admet une borne supérieure que l'on peut rendre, à un terme sous-polynomial près, aussi proche que l'on veut de la borne standard $n^{-d/2}$ en laissant le paramètre $\gamma$ tendre vers l'infini. Nous considérons dans le troisième résultat (cf. Chapitre 3) les mêmes chaînes de Markov mais en temps continu et étudions la décroissance de la probabilité de retour $P_\omega^{t}(0,0)$, quand $t$ tend vers $+\infty$. Nous prouvons pour tout $\gamma> \frac{d}{2}$ que la borne standard se révèle être le bon ordre \textit{logarithmique}, i.e., $$ \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\log P^\omega_{0}(X_t=0)}{\log t}=-\frac{d}{2}. $$ Une conséquence prévisible de ce résultat est que ceci reste tout aussi vrai en temps discret.