CONTINUATION CONTACT PROBLEMS FOR PLATES
Continuation dans les problèmes de contact pour des plaques en flexion
Résumé
There exist path following methods for mechanical structures submitted to varying loads, with classical boundary conditions. One of the tool required by these numerical methods (continuation) is the C1 implicit function theo- rem. But in the case of contact problems the deri- vative of the solution with respect to the load no longer exists in general. This technical diculty has been overcome for an elastic membrane but we do not yet know how to extend these methods to the case of plates. It is known that there exist some derivative with respect to the forces to a solution for the obstacle problem for an elastic beam or a plate, in the polyhedric case. In order to investigate these sensitivity questions we extended to the biharmonic operator the stabi- lity theorem of Schaeer which has been esta- blished for the harmonic operator. This theorem gives the strong derivative of the free boundary with respect to the external forces, provided the free boundary is smooth. We explore the sensiti- vity analysis by second order perturbation ana- lysis. We establish a kind of generalization of the previous sensitivity results to the case of li- near beams and plates. Finally we discuss how to deal with the stability and sensitivity analysis in the case of the obstacle problem for von Karman plates.
Avec les codes de calculs generalistes de la mecanique il est possible de suivre numeriquement l'evolution de structures sou- mises a un chargement variable, avec des condi- tions aux bords classiques. Un des outils pour ces methodes numeriques (dites de continuation) est le theoreme des fonctions implicites C1. Mais dans le cas des problemes de contact avec ou sans frottement cet outil ne s'applique plus, car la solution n'est en general plus derivable par rapport aux parametres du probleme. La di- culte a ete surmontee pour les operateurs semi- lineaires d'ordre 2 (cas d'une membrane elastique en grandes deformations), mais pas encore pour les plaques. Pour cela, nous avons generalise au bilaplacien le Theoreme de stabilite de Schaeffer valable pour le laplacien. Ce qui fournit la derivee de la frontiere libre par rapport aux forces exterieures de classe C^infini, si la frontiere libre est C^infini. Nous savons qu'il existe une derivee par rapport aux forces de classe L2 de la solu- tion pour le probleme d'obstacle d'une poutre et d'une plaque elastique, avec des hypotheses sur la zone de contact assurant la polyedricite. Nous explorons l'analyse de sensibilite du probleme de l'obstacle pour une poutre et une plaque lineaire, par des methodes nouvelles d'analyse par pertur- bation au second ordre. Enn nous expliquons comment ces resultats pourraient servir a com- prendre la stabilite et la sensibilite des plaques de von Karman.