On the sinngularities of some differential problems
Sur les singularités de certains problèmes différentiels
Résumé
In this thesis, we propose a method to solve some Cauchy problems with irregular or characteristic data by using the recent theories of generalized functions. We study a regular Cauchy problem and a regular Goursat problem in the first part with data on a monotonous curve. The second part is devoted to the setting up of an algebra adapted to the generalized Cauchy problem. In the third part, we give a meaning to a generalized Cauchy problem and we show that the problem admits a unique solution. We study a generalized Goursat problem in the same way. In the fourth part, we approach a characteristic Cauchy problem by a family of non-characteristic ones (Pε) by considering the straight line of equation y=εx. If uε is the solution of problem (Pε), u=[uε] is a generalized function that we consider as the generalized solution of the problem in an appropriate algebra. We give a meaning to the characteristic Cauchy problem with irregular data by replacing it by a family of non-characteristic problems (P_(ε,η)) in an appropriate algebra. The parameter ε permits to replace the given problem by a non-characteristic one, whereas the parameter η makes it regular. If u_(ε,η) is the solution of problem (P_(ε,η)), u=[u_(ε,η)] is a generalized function considered as the generalized solution of the problem.
Dans cette thèse nous proposons une méthode pour résoudre certains problèmes de Cauchy à données irrégulières ou caractéristiques en utilisant les récentes théories des fonctions généralisées. Nous étudions dans la première partie un problème de Cauchy et un problème de Goursat réguliers avec des données sur une courbe monotone. La deuxième partie est consacrée à la mise en place d'une algèbre adaptée à la résolution du problème de Cauchy généralisé. Dans la troisième partie nous donnons un sens à un problème de Cauchy généralisé et nous montrons qu'il admet une unique solution. Nous étudions de même un problème de Goursat généralisé. Dans la quatrième partie nous approchons un problème de Cauchy caractéristique par une famille de problèmes non caractéristiques (Pε) en considérant la droite d'équation y=εx. Si uε est la solution du problème (Pε), u=[uε] est une fonction généralisée que nous considérons comme la solution généralisée du problème dans une algèbre convenablement définie. Nous donnons un sens au problème de Cauchy caractéristique dans le cas de données irrégulières en le remplaçant par une famille de problèmes non caractéristiques (P_(ε,η)) dans une algèbre convenable. Le paramètre ε permet de se ramener à un problème non caractéristique que le paramètre η rend régulier. Si u_(ε,η) est la solution du problème (P_(ε,η)), u=[u_(ε,η)] est une fonction généralisée que nous considérons comme la solution généralisée du problème.