Non-abelian tensor product, relations between commutators and homology of groups
Produit tensoriel non abélien, relations entre commutateurs et homologie des groupes
Résumé
The non-abelian tensor product based on a couple of crossed modules on the same group is in surjection on the commutator sub-group induced by the images of the crossed modules. The factorisations through the crossed modules define generalised commutators. The associated kernels are quotients of groups of relations between commutators by universal relations. Such quotients give all the homology of a group extending results on the second (Miller) and third (Brown-Loday and Ellis) homology. We obtain some of this quotients or some links between them by studying identities in tensor product, right exactness and obstruction to left exactness. This questions are also connected to the construction of sections respecting crossed modules laws and to the nullity of canonical morphisms induced by the lower central serie on third homology.
Le produit tensoriel non abélien construit à partir de modules croisés sur un même groupe est en surjection sur le sous-groupe de commutateurs induit par les images des modules croisés. Les factorisations à travers chacun des modules croisés définissent des commutateurs généralisés. Les noyaux associés sont des quotients de groupes de relations entre commutateurs généralisés par des relations universelles. Toute l'homologie d'un groupe peut s'exprimer sous la forme de tels quotients. L'étude des identités vérifiées par le produit tensoriel, de l'exactitude à droite et de l'obstruction à l'exactitude à gauche permet d'expliciter plus ou moins complètement certains de ces quotients et d'établir des liens entre différents groupes de cette forme. Ces questions sont également liées à l'existence de sections compatibles avec les structures de module croisé et à l'éventuelle nullité de morphismes canoniques induits par la suite centrale descendante entre troisièmes groupes d'homologie.