Piecewise linear approximation of two-variable functions with a bounded error for mixed-integer nonlinear programming
Approximation linéaire par morceaux de fonctions de deux variables avec erreur bornée pour la résolution de problèmes d'optimisation non linéaire mixte en nombres entiers
Résumé
In optimization, many academic and industrial applications can be modeled in the form of a problem of the mixed-integer nonlinear programming class (MINLP). The problems of this class are generally hard to solve without particular properties on the nonlinear functions and with the presence of binary or integer variables. A standard method to solve MINLP approximates the problem by replacing nonlinear functions by piecewise linear ones to obtain a mixed-integer linear programming problem (MILP). It enables to make use of the great efficiency of current solvers and the last 30 years of research on solving MILP problems. Those approaches have a major downside which is the complete lack of a priori guarantee on the quality of the solution obtained. This thesis follows recent work with the goal of eliminating this downside. Our work focuses on the approximation of nonlinear functions of two variables by piecewise linear functions satisfying a bound on the approximation error and minimizing the number of pieces used. It allows to approximate any function that can be written as a sum of terms depending on one or two variables. First, we solved optimally the particular case of the euclidean norm of two variables when the definition domain is the whole plane, and extend this result to norms with level set in the shape of ellipses. Second, we deal with continuous two-variable functions defined on a polygonal domain. To that end, we developed different methods to obtain feasible solutions exploiting some approximation properties we identified, as well as lower bounds based on a new family of valid inequalities specific to the problem. The numerical experiences showed that our methods obtain better solutions than the state of the art algorithms, in particular for the approximation of nonlinearly separable functions. Finally, we show two numerical applications solving MINLP problems to illustrate the practical side of our works, one on the beam layout problem used in satellite communication, and the other on the computation of Nash equilibria in game theory.
En optimisation, de nombreuses applications académiques et industrielles se modélisent sous la forme de problèmes de la classe appelée MINLP, pour mixed-integer nonlinear programming. Les problèmes de cette classe sont généralement difficiles à résoudre en l’absence de propriétés particulières sur les fonctions non linéaires, combinée à la présence de variables de décision binaires ou entières. Une méthode classique de résolution consiste à approximer le problème en remplaçant les fonctions non linéaires par des fonctions linéaires par morceaux pour obtenir un problème MILP, pour mixed-integer linear programming. Cela permet de tirer partie de la grande efficacité des solveurs et de toutes les avancées des trente dernières années sur la résolution de programmes linéaires en nombres entiers ou mixtes. Ces approches ont pour inconvénient majeur l’absence de garantie a priori sur la qualité des solutions obtenues. Cette thèse s’inscrit dans la lignée de travaux récents visant à éliminer ce défaut. Nos travaux se focalisent sur l’approximation de fonctions non linéaires de deux variables par des fonctions linéaires par morceaux respectant une borne sur l'erreur d’approximation et minimisant le nombre de morceaux utilisés. Cela permet l'approximation de toute fonction décomposable en somme de termes dépendant d'une ou deux variables. Dans un premier temps nous avons résolu optimalement le cas particulier de la norme euclidienne de deux variables lorsque le domaine de définition est le plan tout entier, et étendu ce résultat aux normes dont les lignes de niveaux sont des ellipses. Dans un second temps nous nous sommes intéressés aux fonctions de deux variables continues définies sur un domaine polygonal. Pour ces dernières nous avons développé différentes méthodes permettant d’obtenir des solutions réalisables exploitant des propriétés d'approximation que nous avons identifiées, ainsi que des bornes inférieures basées sur une nouvelle famille d'inégalités valides dédiée au problème. Les expériences numériques ont montré que nos méthodes obtiennent de meilleures solutions que l'état de l'art, en particulier pour l’approximation de fonctions non linéairement séparables. Enfin, deux applications à la résolution de problèmes MINLP sont traitées pour illustrer le potentiel pratique de nos travaux, l’une sur un problème de placements de faisceaux de satellites de télécommunication et l’autre sur le calcul d’équilibres de Nash en théorie des jeux.
Origine : Version validée par le jury (STAR)