Off-the-grid curve reconstruction : theory and applications in fluorescence microscopy
Reconstruction sans-grille de courbes : théorie et applications en microscopie de fluorescence
Résumé
This PhD thesis aims to define and explain the tools for curve reconstruction using off-the-grid variational methods, as part of a range of applications in biomedical imaging, and more specifically in fluorescence microscopy.Several convex or non-convex numerical algorithms have already been developed within the Morpheme research team, where this thesis was conducted, in the context of non-convex sparse optimisation. These techniques were developed in the discrete case, on a grid, which means that the super-resolved image is defined on a finer grid than the observed images. In contrast, in this PhD thesis, we are developing off-the-grid also called gridless methods, while working on the space of bounded measures. This choice brings several advantages: the source is not limited by a fine grid and can be located continuously, quantitative bounds on the discrepancy between the reconstruction and the source can be written, and these approaches allow encoding structural/geometric information in the variational problem, to recover a source of a certain shape, such as a point or a curve.We will begin by reviewing the state of the art in off-the-grid methods, focusing on the reconstruction of point sources. In particular, we will illustrate its practical interest in fluorescence microscopy, especially compared with classical models: the reconstructions proposed are as convincing as those produced by deep learning models, and this without requiring a learning set or hyperparameters tuning.We will then introduce a gridless method for fluctuation-based fluorescence microscopy. This method exploits the independence of fluctuations in fluoroform luminosity, which means that specific and expensive acquisition equipment is not required. The limitations of this model, formulated for the reconstruction of point sources, will lead us to define a new off-the-grid method, this time for the reconstruction of curve.We will further study the design of an off-the-grid method, addressing the struggle of fluoroform along filaments that form curves in the images; a problem which is not taken care of in the literature. In particular, we will define the involved optimisation space, namely the space of vector measures with finite divergence, also known as the space of charges. We will further explain how to define curve measures, and we will write a new functional called CROC (for Curves Represented On Charges). We will finish by showing that there is a solution to this energy that can be written as a finite linear combination of measurements carried by curves.Finally, we will study the numerical implementation of this problem, using an adaptation of the greedy algorithm widely used in the literature. We will discuss the properties of our algorithm, called Charge Sliding Frank-Wolfe, and the difficulties encountered in the definition of the observation model, in choosing the discrete parametrisation of the curves, and so on.The thesis will be concluded with a reminder of the main points encountered in each chapter, and an opening section summing up the possible avenues of research that we have identified over the course of the chapters.
Cette thèse de doctorat se propose de définir et d'expliciter les outils pour la reconstruction de courbes par des méthodes variationnelles sans-grille dans une perspective d'applications en imagerie biomédicale, et plus précisément en microscopie de fluorescence.Plusieurs algorithmes numériques convexes ou non-convexes ont déjà été développés au sein de l'équipe de recherche Morpheme qui a accueilli cette thèse, dans le cadre de l'optimisation non convexe parcimonieuse. Ces techniques ont été développées dans le cas discret, sur grille, ce qui signifie que l'image super-résolue est définie sur une grille plus fine que les images observées. A contrario, dans cette thèse de doctorat, nous développons des méthodes sans grille, en travaillant sur l'espace des mesures bornées. Ce choix apporte plusieurs avantages : la source n'est pas limitée par une grille fine et peut être localisée continûment, des bornes quantitatives sur l'écart entre la reconstruction et la source peuvent être énoncées, et ces approches permettent d'encoder une information structurelle ou géométrique dans le problème variationnel, de sorte à reconstruire une source d'une certaine forme, telle qu'un point ou une courbe.Dans un premier temps, nous rappellerons l'état de l'art des méthodes sans-grille, qui porte sur la reconstruction de sources ponctuelles. Nous illustrerons en particulier son intérêt pratique en microscopie de fluorescence, notamment face à des modèles classiques : les reconstructions proposées sont aussi convaincantes que celles produites par des modèles d'apprentissage profond, et ce, sans nécessiter d'ensemble d'apprentissage ou d'hyperparamètres à régler.Puis, nous introduirons une méthode sans-grille dans le cadre de la microscopie de fluorescence par fluctuation. Cette dernière repose sur l'indépendance des fluctuations de luminosité des fluorophores, ce qui permet en pratique de faire l'économie de matériel d'acquisition spécifique et coûteux. Les limites de ce modèle, formulé pour la reconstruction de sources ponctuelles, nous conduirons à nous intéresser sur la formulation d'une nouvelle méthode sans-grille, cette fois-ci pour la reconstruction de sources courbes.Nous nous pencherons sur la conception d'une méthode sans-grille, qui répond à la problématique de fluorophores le long de filaments qui forment de courbes dans les images, et qui n'est à notre connaissance pas traitée dans la littérature. En particulier, nous définirons l'espace d'optimisation impliqué, à savoir l'espace des mesures vectorielles à divergence finie, aussi appelé espace des charges. Nous poursuivrons en explicitant la manière de définir des mesures portées par des courbes, et en écrivant une nouvelle fonctionnelle appelée CROC (pour Curves Represented On Charges). Nous finirons en montrant qu'il existe une solution de cette énergie qui s'écrit comme une combinaison linéaire finie de mesures portées par des courbes.Finalement, nous étudierons la mise en œuvre numérique de la minimisation de cette énergie, à l'aide d'une adaptation d'algorithme glouton répandu dans la littérature. Nous discuterons des propriétés de notre algorithme, appelé Charge Sliding Frank-Wolfe, des difficultés rencontrées dans la définition du modèle d'observation, dans le choix de la paramétrisation discrète des courbes, etc.Le propos sera clôturé avec une conclusion qui rappellera les principaux points de chaque chapitre, ainsi qu'une ouverture, récapitulant les pistes de recherche possibles que nous avons dégagées au fil des chapitres.
Origine : Version validée par le jury (STAR)