Towards efficient quantum algorithms for optimization and sampling
Vers des algorithmes quantiques efficaces pour l'optimisation et l'échantillonnage
Résumé
Recently, with the advent of big data and large-scale machine learning, there has been an increasing demand for quantum algorithms that would be more directly applicable to practically-relevant problems. In this thesis we present three algorithms that aim to take us closer to this goal. Firstly, we develop a quantum algorithm for second-order cone programming, a class of optimization problems that is between linear and semidefinite programs in terms of expressivity and ease of solving. These problems are most commonly solved using interior-point methods, the complexity of which is mainly dictated by the cost of solving a series of linear systems. In our algorithm we solve these linear systems approximately using a quantum linear system solver, and prove that the resulting interior-point method converges to the correct solution in the same number of iterations. We give numerical evidence that the algorithm provides end-to-end speedups in certain low-precision applications such as support-vector machines and portfolio optimization. The quantum linear system solver that we use is the result of a long line of research spawned by the quantum linear system algorithm of Harrow, Hassidim and Lloyd. While it has been proven to be asymptotically optimal, its corresponding circuit is nontrivial and requires some classical preprocessing. The second contribution of this thesis is an improved quantum algorithm for linear systems, based on the optimal classical method of Chebyshev iteration. Finally, we observe that the aforementioned algorithms have the common property of approximating the unique true solution of the input problem. In general, designing such quantum algorithms is nontrivial, as often the only way of recovering (an approximation to) the true solution is by running the algorithm many times (either naively or via amplitude amplification) and computing some statistics (e.g. the mean) of the measured outputs. If quantum computers intrinsically provide sampling access to their outputs, could we exploit them to speed up classically-relevant sampling problems? Surprisingly, it turns out that Gaussian sampling is not a completely solved problem, even on classical computers. Our third contribution is a classical Hamiltonian Monte Carlo algorithm for Gaussian sampling in first-order query model. We overcome and sidestep several lower bounds by taking long and random steps for integrating the Hamiltonian in the heart of the algorithm.
Récemment, avec l'avènement du big data et de l'apprentissage machine à grande échelle, il y a eu une demande croissante pour des algorithmes quantiques qui seraient plus directement applicables à des problèmes pertinents en pratique. Dans cette thèse, nous présentons trois algorithmes qui visent à nous rapprocher de cet objectif. Premièrement, nous développons un algorithme quantique pour l'optimisation cornettique, une classe de problèmes d'optimisation qui se situe entre les programmes linéaires et semi-définis en termes d'expressivité et de facilité de résolution. Ces problèmes sont le plus souvent résolus avec l'aide d'une méthode de point intérieur, dont la complexité est principalement imposée par le coût de la résolution d'une série de systèmes linéaires. Dans notre algorithme, nous résolvons ces systèmes linéaires de manière approximative à l'aide d'un algorithme quantique, et nous prouvons que la méthode des points intérieurs qui en résulte converge vers la solution correcte en un même nombre d'itérations. Nous donnons des preuves numériques que l'algorithme fournit des accélérations de bout en bout dans certaines applications de faible précision telles que les machines à vecteurs de support et l'optimisation de portefeuille financier. L'algorithme des systèmes linéaires quantiques que nous utilisons est le résultat d'une longue ligne de recherche engendrée par l'algorithme de système linéaire quantique de Harrow, Hassidim et Lloyd. Bien qu'il ait été prouvé qu'il est asymptotiquement optimal, le circuit correspondant compliqué et nécessite un prétraitement classique. La deuxième contribution de cette thèse est un algorithme quantique amélioré pour les systèmes linéaires, basé sur la méthode classique optimale de l'itération de Chebyshev. Enfin, nous observons que les algorithmes susmentionnés ont la propriété commune d'approximer l'unique vraie solution du problème donné. En général, la conception de tels algorithmes quantiques est difficile, car souvent la seule façon de récupérer (une approximation de) la vraie solution est d'exécuter l'algorithme plusieurs fois (soit naïvement, soit par amplification d'amplitude) et de calculer certaines statistiques (par exemple la moyenne) des sorties mesurées. Si les ordinateurs quantiques donnent intrinsèquement accès à l'échantillonnage de leurs sorties, pourrions-nous les exploiter pour accélérer les problèmes d'échantillonnage classiques? De manière surprenante, il s'avère que l'échantillonnage gaussien n'est pas un problème complètement résolu, même sur les ordinateurs classiques. Notre troisième contribution est un algorithme de Monte Carlo Hamiltonien classique pour l'échantillonnage gaussien dans le modèle d'interrogation du premier ordre. Nous surmontons et contournons plusieurs limites inférieures en prenant des étapes longues et aléatoires pour intégrer le hamiltonien au cœur de l'algorithme.
Origine : Version validée par le jury (STAR)