Some applications of machine learning in finance
Quelques applications de l'apprentissage automatique en finance
Résumé
In this thesis, we study some applications of machine learning in mathematical finance. We first review some interesting applications from the literature before we present our main contribution which includes two algorithms for option pricing using machine learning. The first application consists in building automatic control variates using neural networks for option pricing with Monte Carlo. The second application consists of an algorithm for pricing Bermudan options using regression trees and random forests.In the first part, we look at the problem of European option pricing using Monte Carlo. First, we recall some well-known variance reduction techniques that allow to optimize the performance of the Monte Carlo pricer. Then, we present some fast pricing methods using machine learning. Finally, we discuss our own contribution to the subject which consists of two methods for building control variates using neural networks which can be conceived as a conservative method for fast pricing using neural networks. The first algorithm relies on the fact that many high-dimensional financial problems are of low effective dimensions. We expose a method to reduce the dimension of such problems in order to keep only the necessary variables. The pricing can then be done using fast numerical integration techniques such as Gaussian quadrature. The second approach consists of building an automatic control variate using an adapted neural network. We learn the function to be integrated (which incorporates the diffusion model plus the payoff function) in order to build a network that is highly correlated to it. As the network that we use can be integrated exactly, we can use it as a control variate.In the second part, we focus on the problem of pricing Bermudan options. The challenge with these options comes from the determination of an optimal stopping time to exercise the option. This problem can be formulated as a dynamic programming equation which we expose and propose various methods for solving it: quantization, some least-squares methods, random trees, and stochastic mesh algorithms. We then review two new alternative methods for pricing Bermudan options without using the dynamic programming equation. The first method consists in estimating the optimal stopping time through a randomized exercise strategy. The second method approximates the optimal stopping time using neural networks. As for our contribution, we suggest solving the dynamic programming equation using regression trees and random forests. We prove that using regression trees to estimate the conditional expectations in the dynamic programming equation allows us to converge to the correct price. We show through numerical examples how random forests can solve the curse of dimensionality for Bermudan options.
Dans cette thèse, nous étudions certaines applications de l'apprentissage automatique en mathématiques financières. Nous faisons d'abord un compte rendu de certaines applications intéressantes de la littérature avant de présenter notre propre contribution qui comprend deux algorithmes de valorisation d'options utilisant l'apprentissage automatique. La première application consiste à construire des variables de contrôle automatique à l'aide de réseaux de neurones pour la valorisation d'options européennes avec Monte Carlo. La deuxième application consiste en un algorithme de valorisation d'options bermudiennes à l'aide d'arbres de régression et de forêts aléatoires.Dans la première partie, nous examinons le problème de la valorisation d'options européennes avec Monte Carlo. Tout d'abord, nous rappelons quelques techniques de réduction de variance qui permettent d'optimiser les performances de l'estimateur Monte Carlo. Ensuite, nous présentons quelques méthodes de fast pricing utilisant l'apprentissage automatique. Enfin, nous exposons notre propre contribution qui consiste en deux méthodes pour construire des variables de contrôle à l'aide de réseaux de neurones. Nos algorithmes peuvent être conçus comme des méthodes conservatrices de fast pricing à l'aide de réseaux de neurones. Le premier algorithme que nous proposons repose sur le fait que plusieurs problèmes de grande dimension en finance ont de petites dimensions effectives. Nous exposons une méthode pour réduire la dimension de tels problèmes afin de ne garder que les variables nécessaires. La valorisation peut alors être effectuée à l'aide de techniques d'intégration numérique rapide telles que des quadratures gaussiennes. La deuxième approche consiste à construire une variable de contrôle automatique à l'aide d'un réseau de neurones adapté. Nous apprenons la fonction à intégrer (qui contient le modèle de diffusion plus le payoff) afin de construire un réseau qui lui est fortement corrélé. Comme le réseau que nous utilisons peut être intégré exactement, nous pouvons l'utiliser comme variable de contrôle.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur le problème de la valorisation d'options bermudiennes. Le challenge avec ces options vient de la détermination d'un temps d'arrêt optimal pour exercer l'option. Ce problème peut être formulé comme une équation de programmation dynamique que nous exposons et proposons différentes méthodes pour la résoudre : la quantification, certaines méthodes de moindres carrés, des arbres aléatoires, et des algorithmes de maillage stochastique. Nous passons ensuite en revue deux nouvelles méthodes alternatives de valorisation d'options bermudiennes qui ne reposent pas sur l'équation de programmation dynamique. La première méthode consiste à estimer le temps d'arrêt optimal grâce à une stratégie d'exercice randomisée. La deuxième méthode estime le temps d'arrêt optimal à l'aide de réseaux de neurones. En ce qui concerne Notre contribution, nous proposons de résoudre l'équation de programmation dynamique à l'aide d'arbres de régression et de forêts aléatoires. Nous prouvons que l'utilisation d'arbres de régression pour estimer les espérances conditionnelles dans l'équation de programmation dynamique nous permet de converger vers le bon prix de l'option. Nous montrons à travers des exemples numériques comment la méthode des forêts aléatoires peut résoudre le problème des grandes dimensions pour les options bermudiennes.
Origine : Version validée par le jury (STAR)