Study of the algorithmic complexity and the soficness of two-dimensional shifts
Étude de la complexité algorithmique et du caractère sofique des shifts en dimension deux
Résumé
We study the properties of multidimensionnal shifts. More precisely, we are interest in
Nous étudions les propriétés des shifts multidimensionnels. Plus précisément, nousnous intéressons aux conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un shift soit sofic ;autrement dit, nous étudions la frontière qui sépare les shifts sofics des shifts effectifset non sofics. Nous montrons que plusieurs versions de la complexité algorithmique(ou complexité de Kolmogorov) sont utiles pour formuler de telles conditions.Ainsi, nous proposons dans un premier temps des conditions nécessaires pourqu’un shift multidimensionnel soit sofic, formulées en termes de complexité de Kolmo-gorov à ressources bornées. En utilisant cette technique nous construisons un exemplede shift effectif et non sofic sur ZZ^2 avec une très faible complexité combinatoire : lenombre de motifs globalement admissibles de taille N × N ne croît que de manièrepolynomiale en N . Nous développons ensuite d’autres outils permettant de prouverqu’un shift n’est pas sofic, également basés sur la complexité de Kolmogorov. Nousmontrons en outre que la technique développée par S. Kass et K. Madden dans [31]correspond à un cas particulier de ceux-ci.Dans un second temps, nous définissons une large classe de shifts multidimen-sionnels sofics, à savoir les shifts possédant un très faible nombre de cases noires surun océan de cases blanches. Plus précisément, pour tout epsilon < 1, le shift sur l’alphabet{blanc, noir} dont, pour chaque configuration, les carrés de taille N × N ne contiennent pasplus de N^{epsilon} cases noires, est sofic. De plus, les sous-shifts effectifs de ce shift sont égale-ment sofics. La preuve de ce résultat est principalement basée sur la construction d’unshift à point-fixe, en utilisant quelques autres ingrédients : un modèle de calcul ad hocpermettant des calculs massivement parallèles, basé sur les automates cellulaires nondéterministes, ainsi qu’un résultat sur les flots parcourant un type de graphes spéci-fiques.
Origine : Version validée par le jury (STAR)