Fixpoints of types in linear logic from a Curry-Howard-Lambek perspective
Points fixes de types en logique linéaire d'un point de vue Curry-Howard-Lambek
Résumé
This thesis is concerned with the studying of an extension of the propositional linear logic with fixpoints of type from a Curry-Howard-Lambek perspective. Linear logic with fixpoints of types, called \mu LL, allows us to have inductive and coinductive proofs. We develop a categorical semantics of \mu LL based on Seely categories and on strong functors acting on them. Then we introduce and study \mu LLP as as an extension of Polarized Linear Logic, with least and greatest fixpoints. Taking advantage of the implicit structural rules of \mu LLP, we introduce a term syntax for this language, in the spirit of the classical \lambda-calculus and of system L. We equip this logical system with a deterministic reduction semantics as well as a categorical semantic. We always examine our categorical semantics with concrete cases such as category of sets and relations, category of sets equipped with a notion of totality (non-uniform totality spaces) and relations preserving, and coherence spaces with totality. In the case of \mu LLP, , we prove an adequacy result for \mu LLP between its operational and denotational semantics, from which we derive a normalization property thanks to the properties of the totality interpretation. We will also study non-wellfounded proofs in linear logic, which one can see them as an extension of inductive proofs, form a denotational semantics point of view by making a relation between validity condition for non-wellfounded proofs and totality interpretation. Finally, we will provide a categorical setting for the exponentials that are encoded using fixpoints operator.
Cette thèse porte sur l'étude d'une extension de la logique linéaire propositionnelle avec des points fixes de type dans une perspective Curry-Howard-Lambek. La logique linéaire à points fixes de types, appelée \mu LL, nous permet d'avoir des preuves inductives et coinductives. Nous développons une sémantique catégorielle de \mu LL basée sur les catégories de Seely et sur des foncteurs "strong" agissant sur elles. Ensuite, nous introduisons et étudions \mu LLP comme une extension de la logique linéaire polarisée, avec plus petit et plus grand points fixes. Profitant des règles structurelles implicites de \mu LLP , nous introduisons une syntaxe de terme pour ce langage, dans l'esprit du \lambda-calcul classique et du système L. Nous équipons ce système logiqued’une sémantique de réduction déterministe ainsi que d’une sémantique catégorielle. Nous examinons toujours notre sémantique catégorielle avec des cas concrets tels que la catégorie des ensembles et des relations, la catégorie des ensembles munis d'une notion de totalité (espaces de totalité non uniformes) et des relations qui préservent a totalité, et les espaces de cohérence avec totalité. Dans le cas de \mu LLP, nous prouvons un résultat d'adéquation pour \mu LLP entre sa sémantique opérationnelle et dénotationnelle, dont nous dérivons une propriété de normalisation grâce aux propriétés de l'interprétation de la totalité. Nous étudierons également les preuves non bien fondées en logique linéaire, que l'on peut voir comme une extension des preuves inductives, d'un point de vue sémantique dénotationnelle en faisant une relation entre condition de validité des preuves non bien fondées et interprétation de la totalité. Enfin, nous fournirons un modèle catégoriel pour les exponentielles codées à l'aide de l'opérateur de point fixe.
Origine : Version validée par le jury (STAR)