The PDE type models for the growth of glial cells
Modèles de type EDP pour la croissance de tumeurs gliales
Résumé
This Thesis aim to delve the applications of Cahn-Hilliard type models in biology and image processing. In the first part, we initially study a Cahn-Hilliard model for glial cells, we prove the existence of a biologically relevant solution and a strict separation from the pure states in 1D and 2D. We further consider a Cahn-Hilliard-Oono model and deduce the similar conclusions. Moreover, we study a coupled model for the proliferative-to-invasive transition of hypoxic glioma cells, we consider the Cahn-Hilliard type equations in three cases, and mainly prove the existence of global in time solutions, in particular, we study permanence of the tumor, and give some numerical simulations in certain case. In the second part, we study a Cahn-Hilliard model for image segmentation, the well-posedness has been addressed, since the solution could be unbounded as time goes to infinity, we consider a Cahn-Hilliard-Oono model so that we can perform numerical simulations which illustrate the theoretical results. We further study the asymptotic behavior of the Cahn-Hilliard-Oono type models with cubic nonlinear term and logarithmic nonlinear term, more precisely, the existence of finite dimensional attractors.
Cette thèse vise à approfondir les applications des modèles de type Cahn-Hilliard en biologie et en traitement d'images. Dans la première partie, nous étudions dans un premier temps un modèle de Cahn-Hilliard pour les cellules gliales, nous prouvons l'existence d'une solution biologiquement pertinente et une stricte séparation des états purs en 1D et 2D. Nous considérons ensuite un modèle de Cahn-Hilliard-Oono et en déduisons des conclusions similaires. De plus, nous étudions un modèle couplé pour la transition proliférative à invasive des cellules de gliome hypoxiques, nous considérons les équations de type Cahn-Hilliard dans trois cas, et prouvons principalement l'existence de solutions globales en temps, en particulier, nous étudions la permanence de la tumeur, et donnons quelques simulations numériques dans certains cas. Dans la deuxième partie, nous étudions un modèle de Cahn-Hilliard pour la segmentation d'images, le caractère bien-posé a été abordé, étant donné que la solution pourrait être non bornée quand le temps tend vers l’infini, nous considérons un modèle de Cahn-Hilliard-Oono pour pouvoir effectuer des simulations numériques qui illustrent les résultats théoriques. Nous étudions ensuite le comportement asymptotique des modèles de type Cahn-Hilliard-Oono à terme non linéaire cubique et terme non linéaire logarithmique, plus précisément, l'existence d'attracteurs de dimension finie.
Origine : Version validée par le jury (STAR)