Quantum transport in voltage-biased Josephson junctions
Transport quantique dans des jonctions Josephson polarisées en tension
Résumé
This work aims to extend the comprehension of the out-of-equilibrium transport in Josephson junctions by both analytical and numerical methods. More specifically, it focuses on the Josephson radiation of a junction formed by a spin degenerate single level quantum dot connected to two superconducting leads. Such a junction hosts discrete subgap states whose energy depends periodically on the superconducting phase difference across the junction, they are the so-called Andreev bound states. Because of the energy dependence of the quantum dot transmission, these states are completely detached from the quasiparticle continuum and any finite detuning of the quantum dot from resonance conditions opens a second gap at the Fermi energy. The superconducting current flowing through the junction is proportional to the derivative of the junction energy with respect to the phase difference. Crucially, it depends on the Andreev bound states occupations. When a constant voltage is set across the junction, the phase difference oscillates at the Josephson frequency, which is proportional to the applied voltage.Thus, a voltage bias can induce non-adiabatic changes of the Andreev bound states occupation. To investigate the consequences of this dynamics, we proposed a stochastic model of the Andreev bound states occupation that permits to analytically evaluate the current through the junction and its fluctuations. It predicted the existence of a parameter regime where the Josephson radiation is fractional. While those results provided analytical insights into the junction behaviour, strong assumptions were required. Thus, we turned to a microscopic description that models the system as a non-interacting quantum dot hosting a unique spin degenerate level which is tunnel coupled to two BCS superconducting leads. The current is then deduced from the full Green function, which is obtained by solving the Dyson equation. We developed a novel method to solve this equation in the time domain. Its complexity is O(N log(N)) in both operation and memory, where the time axis has been discretized into N time steps. By contrast, the usual time domain method requires O(N^3) operations and O(N^2) bytes of memory to solve the Dyson equation. This new method is not restrained in any way to the study of Josephson junctions, it can be used to solve any Dyson equations.
Ces travaux visent à étendre la compréhension du transport quantique hors équilibre dans des jonctions Josephson polarisées en tensions, aussi bien par des méthodes analytiques que numériques. Plus précisément, il se concentre sur le rayonnement Josephson d'une jonction formée par une boite quantique ayant un unique niveau d’énergie dégénéré en spin et connecté à deux fils supraconducteurs. Une telle jonction héberge des états discrets, à l’intérieur du gap supraconducteur, dont l'énergie dépend périodiquement de la différence des phases supraconductrice de part et d’autre de la jonction, il s'agit des états liés dits d'Andreev. A cause de la dépendance en énergie de transmission de la boite quantique, ces états sont complètement détachés du continuum de quasi-particules et tout écart à la condition de résonance de la boite quantique ouvre un second gap à l'énergie de Fermi. Le courant supraconducteur qui traverse la jonction est proportionnel à la dérivée de l'énergie de la jonction par rapport à la différence de phase. Cette énergie dépend entre autres de l’occupation des états liées d’Andreev. Lorsque la jonction est polarisée en tension, la différence de phase oscille à la fréquence Josephson qui est proportionnelle à la tension appliquée.Pour comprendre l'effet de cette dynamique sur le courant et la radiation Josephson, nous proposons un modèle stochastique de celle-ci. Dont nous déduisons des expressions analytiques des différentes observables paramétrisées par les probabilités de transition des processus non-adiabatiques. Ce modèle prédit l'existence d'un régime de paramètres où le rayonnement Josephson est fractionnel. Bien que ces résultats aient fourni un aperçu analytique du comportement de la jonction, il repose sur des hypothèses fortes. Notamment, tout effet de cohérence quantique est négligé, de même que l'effet de l'environnement. Nous nous sommes donc tournés vers un modèle microscopique de la jonction décrit dans le formalisme des champs hors équilibres. La boite quantique est modélisée par un unique état discret connecté par effets tunnels à deux supraconducteurs BCS. Les observables sont déduite de la fonction Green complète du système. Celle-ci est obtenue en résolvant l'équation de Dyson dans le domaine temporel. A cette occasion, nous avons développé une nouvelle méthode de résolution de cette équation hors-équilibre de complexité O(N log(N)) en temps et en mémoire, avec N le nombre de points de discrétisation de l'axe temporel. Là où les méthodes usuelles nécessitent O(N^3) opérations et O(N^2) octets de mémoire pour résoudre cette même équation. Ce nouvel algorithme n'est restreint en aucune façon à la simulation de jonctions Josephson.
Origine : Version validée par le jury (STAR)