Approximation of geometric flows : from phase field methods to neural networks
Approximation de flots géométriques : des méthodes de champ de phase aux réseaux de neurones
Résumé
This thesis is concerned with the phase field approximation of geometric flows and the simulation of these approximations by robust and efficient numerical methods. The manuscript is divided into two parts. The first part deals with the phase field approximation of the surface diffusion flow by Cahn-Hilliard type models, the purpose being to propose a sufficiently robust model for the simulation of wetting phenomena on a rough solid support. In the two-phase case, we have introduced a new model with two degenerate mobilities, variational and whose asymptotic analysis shows that it has an accuracy of order 2, i.e. one order higher than the models proposed so far. Through various numerical experiments, we show that this gain drastically reduces the volume losses observed with classical models and allows to efficiently approximate the evolution of a fine structure by surface diffusion.In order to better take into account the roughness of the support in a solid-liquid-vapour configuration, we have extended our new model to the multiphase case by introducing mobility coefficients associated with each of the phases so as to be able to model the static character of the solid. We have used a variational metric that leads to simple, robust, efficient and unconditionally stable numerical schemes in practice. Numerical experiments (in 2D and 3D) conclude this work by showing the advantage of our approach over pre-existing models. In the second part of the manuscript, we introduce new efficient numerical methods based on neural networks for the approximation of certain geometric flows. We are first interested in the mean curvature flow of oriented or non-oriented interfaces. To approach the discrete semi-group associated with the flow, we propose new networks formed by reaction or diffusion neurons whose architecture is inspired by the splitting schemes of the Allen-Cahn equation. We show with several numerical examples that networks trained on a very simple and regular dataset are able to correctly handle the flow of more complex orientable or non-orientable surfaces, even in the presence of singularities. This shows a surprising capacity of generalisation of the trained networks. Furthermore, we demonstrate on different applications, and in particular on Steiner or Plateau problems, that our trained networks are robust enough to be coupled to additional constraints (volume, inclusion-exclusion, multiphase). We then propose to use the same approach to approximate the Willmore flow. We construct new networks inspired by the Bence-Merriman-Osher type convolution-thresholding schemes used to approach this flow. The work is not yet completely finished but the first results obtained allow us to convince ourselves of the relevance of the approach. Finally, we address the issue of approximating anisotropic mean curvature motion by neural networks and identifying anisotropies. For a given anisotropy, we train our networks on the associated Wulff forms. The first numerical results show the potential of this approach in the case of regular convex anisotropies, both for oriented and non-oriented interfaces. The case of a crystalline anisotropy shows the difficulty that a trained network has in handling a direction that does not appear at all in the training basis. The most striking application of this part concerns the identification of anisotropy: we train a network on a basis of Wullf forms associated with a regular (even non-convex) anisotropy. From a convolution kernel learned by the network, a reconstruction formula is used to recover the anisotropy. The application potential of this approach is considerable.
La première partie porte sur l'approximation champ de phase du flot de diffusion de surface par des modèles de type Cahn-Hilliard, l'objectif étant de proposer un modèle suffisamment robuste pour la simulation de phénomènes de mouillage sur un support solide rugueux. Dans le cas biphasique, nous avons introduit un nouveau modèle à deux mobilités dégénérées, variationnel et dont l'analyse asymptotique montre qu'il a une précision d'ordre 2, c'est-à-dire un ordre de plus que les modèles proposés jusqu'ici. A travers différentes expériences numériques, nous montrons que ce gain réduit alors de manière drastique les pertes de volume observées avec les modèles classiques et permet d'approcher efficacement l'évolution par diffusion de surface d'une structure fine.Afin de mieux prendre en compte la rugosité du support dans une configuration solide-liquide-vapeur, nous avons étendu notre nouveau modèle au cas multiphasique en introduisant des coefficients de mobilité associés à chacune des phases afin de pouvoir modéliser le caractère statique du solide. Nous avons utilisé une métrique variationnelle qui ouvre la voie à des schémas numériques simples, robustes, efficaces et inconditionnellement stables en pratique. De nombreuses expériences numériques (en 2D et 3D) concluent ce travail en montrant l'avantage de notre approche par rapport aux modèles pré-existants. Dans la seconde partie du manuscrit, nous introduisons de nouvelles méthodes numériques efficaces basées sur les réseaux de neurones pour l'approximation de certains flots géométriques. Nous nous intéressons d'abord au flot par courbure moyenne d'interfaces orientées ou non orientables. Pour approcher le semi-groupe discret associé au flot, nous proposons de nouveaux réseaux constitués de neurones de réaction ou de diffusion dont l'architecture est inspirée par les schémas de splitting de l'équation d'Allen-Cahn. Nous montrons avec plusieurs exemples numériques que les réseaux entraînés sur un jeu de données très simples et régulières sont capables de traiter correctement le flot de surfaces orientables ou non orientables plus complexes, même en présence de singularités. Cela montre une capacité surprenante de généralisation des réseaux entraînés. Par ailleurs, nous démontrons sur différentes applications, et notamment les problèmes de Steiner ou de Plateau, que nos réseaux entraînés sont suffisamment robustes pour pouvoir être couplés à des contraintes supplémentaires (volume, inclusion-exclusion, multiphase). Nous proposons ensuite d'utiliser la même démarche pour approcher le flot de Willmore. Nous construisons de nouveaux réseaux en nous inspirant des schémas de convolution-seuillage de type Bence-Merriman-Osher utilisés pour approcher ce flot. Le travail n'est pas encore complètement abouti mais les premiers résultats obtenus permettent de se convaincre de la pertinence de la démarche. Nous abordons en dernier lieu la question de l'approximation du mouvement par courbure moyenne anisotrope par des réseaux de neurones et l'identification des anisotropies. Pour une anisotropie donnée, nous entraînons nos réseaux sur les formes de Wulff associées. Les premiers résultats numériques montrent tout le potentiel de cette approche dans le cas des anisotropies convexes régulières, que ce soit pour des interfaces orientées ou non orientables. Le cas d'une anisotropie cristalline montre la difficulté qu'a un réseau entraîné à bien gérer une direction n'apparaissant pas du tout dans la base d'entraînement. L'application la plus marquante de cette partie concerne l'identification d'anisotropie : on entraîne un réseau sur une base de formes de Wullf associées à une anisotropie régulière (même non convexe). À partir d'un noyau de convolution appris par le réseau, on utilise une formule de reconstruction pour récupérer l'anisotropie. Le potentiel applicatif de cette approche est considérable.
Origine : Version validée par le jury (STAR)