Continuous reductions on the Scott domain and decomposability conjecture
Réductions continues sur le domaine de Scott et conjecture de la décomposabilité
Résumé
This thesis belongs to descriptive set theory which is historically the study of definability in Polish spaces. Over the last few decades, the rise of theoretical computer science has led to a growing interest in definability problems over other more general topological spaces. For this purpose, de Brecht recently isolated the class of quasi-Polish spaces as a class of spaces general enough for it contains many topological spaces involved in the development of theoretical computer science, but not too general for their descriptive set theory remains interesting. The Scott domain is the set of subsets of integers equipped with the Scott topology. It stands out among the quasi-Polish spaces for its universality, which makes it an ideal candidate for the attempt of extending descriptive set theory to the class of quasi-Polish spaces. In the first part of the thesis, we adopt this point of view and try to extend classical tools of descriptive set theory to the Scott domain. More precisely, we are interested in continuous reductions on the Scott domain. First, we show that the partial order induced by reductions via continuous functions, i.e., the Wadge order, on the Borel subsets of the Scott domain is ill-founded and contains infinite antichains. Moreover, we show that these properties, considered as bad in descriptive set theory, already occur at the lowest possible level of topological complexity. To remedy this situation, we then study the partial order induced by total and relatively continuous relations. This notion of reductions is more general than the one induced by continuous functions and it induces a nice hierarchy on the Borel subsets of the Scott domain. Indeed, the partial order induced on these subsets is a well-quasi-order, i.e., it is well-founded and contains no infinite antichain. We fully characterize this partial order by showing that it is isomorphic to a well-known structure in descriptive set theory, namely the restriction of the Wadge order on the non-self-dual Borel subsets of the Baire space which is the set of infinite sequences of integers equipped with the prefix topology. In the second part of the thesis, we focus on a classical problem of descriptive set theory, namely the one of the decomposability of Borel functions in Polish spaces, also called the Decomposability Conjecture. Using the question-tree machinery developped by Duparc, we introduce new techniques to tackle this conjecture. In particular, we are able to isolate a certain hypothesis which implies the Decomposability Conjecture on zero-dimensional Polish spaces. Moreover, we also prove that this hypothesis holds true for a large number of functions, which suggests that it is reachable in full generality.
Cette thèse fait partie de la théorie descriptive des ensembles qui est, historiquement, l'étude de la définissabilité dans les espaces polonais. Au cours des dernières décennies, l'avènement de l'informatique fondamentale a provoqué un intérêt grandissant pour les problèmes de définissabilité dans d'autres espaces topologiques plus généraux. Dans cette optique, de Brecht a récemment mis en évidence la classe des espaces quasi-polonais comme étant une classe d'espaces assez générale puisqu'elle contient de nombreux espaces topologiques impliqués dans le développement de l'informatique fondamentale, mais pas trop générale puisque leur théorie descriptive reste intéressante. Le domaine de Scott est l'ensemble des sous-ensembles d'entiers muni de la topologie de Scott. Il se démarque parmi les quasi-Polonais par son universalité, ce qui en fait un candidat idéal pour la tentative d'extension de la théorie descriptive des ensembles aux quasi-polonais. Dans la première partie de la thèse, nous adoptons ce point de vue et essayons d'étendre certains outils de la théorie descriptive des ensembles au domaine de Scott. Plus précisément, nous nous intéressons aux réductions continues sur le domaine de Scott. Tout d'abord, nous montrons que l'ordre partiel induit par les réductions par fonctions continues, appelé l'ordre de Wadge, sur les boréliens du domaine de Scott est mal-fondé et contient des antichaines infinies. De plus, nous montrons que ces propriétés, considérées comme mauvaises par la théorie descriptive, se trouvent déjà au niveau de complexité topologique le plus bas possible. Pour remédier à cela, nous étudions ensuite l'ordre partiel induit par les relations totales et relativement continues. Cette notion de réductions est plus générale que la notion de réductions par fonctions continues et elle induit une belle hiérarchie sur les sous-ensembles boréliens du domaine de Scott. En effet, l'ordre partiel induit sur ces sous-ensembles est un bel ordre, c'est-à-dire qu'il est bien fondé et ne contient aucune antichaine infinie. Nous caractérisons complètement cet ordre partiel en montrant qu'il est isomorphe à une structure bien connue en théorie descriptive, à savoir la restriction de l'ordre de Wadge sur les boréliens non-auto-duaux de l'espace de Baire qui est l'ensemble des suites infinies d'entiers muni de la topologie du préfixe. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons à un problème de la théorie descriptive des ensembles classique, à savoir celui de la décomposabilité des fonctions boréliennes sur les espaces polonais, et appelé la Conjecture de la Décomposabilité. En utilisant la machinerie des arbres à questions développée par Duparc, nous présentons de nouvelles techniques qui permettent d'aborder cette conjecture sous une nouvelle perspective. En particulier, nous isolons une certaine hypothèse qui implique la Conjecture de la Décomposabilité sur les espaces polonais de dimension zéro. Nous prouvons également que cette hypothèse est vérifiée pour un grand nombre de fonctions, ce qui suggère qu'elle est atteignable en toute généralité.
Origine : Version validée par le jury (STAR)