Innovative numerical schemes for 3D supersonic aerodynamics on unstructured mesh.
Méthodes numériques innovantes pour l'aérodynamique supersonique 3D sur des maillages non-structurés
Résumé
After a break of few decades, a certain interest re-emerges for hypersonic aircraft design largely because of the availability of numerical simulations for multi-dimensional aerodynamic flows. The underlying physical model is the Navier-Stokes equations describing the conservation laws of mass, momentum and energy of a viscous and heat- conductive compressible fluid. The physical variables of the flow undergo important and complex spatial and temporal variations. Hence, robust and accurate numerical methods are mandatory to capture such flows.Historical numerical methods are based on Finite Volume type approaches. Such an approach is based on an integral formulation of the conservation laws in which the temporal variation of the average value in the cell is governed by the fluxes at the interfaces of the cell. In the context of Finite Volume methods for hyperbolic equations, the fluxes at the interfaces are constructed from the solution of the Riemann problem, obtained with an eponymous Riemann solver. A common feature of existing Riemann solvers is that they were developed in the Eulerian formalism. It is nevertheless possible to adopt a different approach: in this work, we adopt the point of view of Gallice (2003) which consists in constructing simple Eulerian Riemann solvers from their Lagrangian counterpart with the help of the Lagrange-to-Euler mapping for systems of conservation laws of continuum mechanics.A class of cell-centered Finite Volume scheme based upon the Lagrange-to-Euler map- ping will be introduced. This mapping establishes a fundamental relation bridging the Lagrangian and Eulerian descriptions. The construction of the scheme starts with the discretization of the equations of the multidimensional Lagrangian hydrodynamics (refer to Loubère et al. (2016)) and later inspired by the works of Shen et al. (2014). The nu- merical fluxes of the scheme are evaluated by means of an approximate Riemann solver located at the grid nodes, which provides the nodal velocity required to move the grid in a compatible manner. The conservation condition and entropy stability of the scheme result respectively from a node-based vectorial equation and a scalar inequation. The Lagrange-to-Euler mapping introduced by Gallice (2002a, 2003) and revisited in Chan et al. (2021) then allows to build positive and entropic Eulerian Riemann solvers from their Lagrangian counterparts, provided that an explicit time step condition is fulfilled.The first chapter focuses on the one-dimensional case of a positivity-preserving and entropy stable Finite Volume scheme obtained by bridging the Lagrangian and Eulerian description, after the formalism of Gallice (2003). In the second and third chapters, we present the theory of an original subface-based multidimensional Finite Volume method followed by its application to multidimensional gas dynamics equations. In the last chapter, an extension to build a well-balanced subface-based scheme for shallow-water equations is presented before coming to a conclusion.
Après une pause de quelques décennies, un certain intérêt refait surface pour la conception d’aéronefs hypersoniques, appuyé par l’accroissement général des capacités de calculs à hautes performances facilitant la simulations numériques d’écoulements aérodynamiques multidimensionnels. Le modèle physique sous-jacent est constitué par les équations de Navier-Stokes décrivant les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie d’un fluide compressible visqueux et thermoconducteur. Les variables physiques de l’écoulement subissent des variations spatiales et temporelles importantes et complexes. Des méthodes numériques robustes et précises sont nécessaires pour capturer l’ensemble des phénomènes présents dans l’écoulement.Les méthodes numériques historiques reposent sur des approches de type volumes finis. Il s’agit d’une formulation intégrale de loi de conservation dans laquelle la variation temporelle de la valeur moyenne dans la maille est régie par les flux aux interfaces de la maille. Dans le cadre des méthodes volumes finis pour les équations hyperboliques, les flux aux interfaces sont construits à partir de la solution du problème de Riemann (solveur de Riemann). Une caractéristique commune des solveurs de Riemann existant est qu’ils ont été développés dans le formalisme Eulérien. Il est néanmoins possible d’adopter une approche différente. Dans ce travail, nous adoptons le point de vue de Gallice (2003) qui consiste à construire des solveurs de Riemann Eulériens simples à partir de leur homologues Lagrangien à l’aide de la transformation Lagrange-Euler pour les systèmes de lois de conservation de la mécanique des milieux continus.Une classe de schémas volumes finis centrés aux cellules basée sur la transformation Lagrange-Euler est introduite. La construction du schéma démarre avec la discrétisation des équations de l’hydrodynamique Lagrangienne multidimensionnel (Loubère et al. (2016)), et ensuite inspirés par les travaux de Shen et al. (2014). Les flux numériques du schéma sont évalués avec un solveur de Riemann aux noeuds. Ce solveur permet de cal- culer la vitesse nodale nécessaire pour déplacer la grille en description Lagrangienne. Par conséquent, la conservation et la stabilité d’entropie du schéma résultent d’une équation vectorielle basé aux noeuds et une inéquation scalaire. La transformation Lagrange-Euler par Gallice (2002a, 2003) et revisitée dans Chan et al. (2021) permet de construire des solveurs de Riemann eulériens positifs et entropiques à partir de solveurs lagrangiens, à condition qu’une condition sur le pas de temps explicite soit remplie.Dans le premier chapitre, nous avons repris le formalisme de Gallice (2003) pour développer un schéma de type volumes finis unidimensionnel positif et entropiquement stable grâce à la transformation Lagrange-Euler. Dans les deuxième et troisième chapitres, nous présentons la théorie de la méthode volumes finis appliquée aux sous-faces des éléments de maillage, suivie de son application aux équations de la dynamique des gaz multidimensionnel. Dans le dernier chapitre, une extension pour construire un schéma aux sous-faces équilibré pour les équations de Saint-Venant est présentée.
Origine : Version validée par le jury (STAR)