Contributions to natural and extended formulations for Combinatorial Optimization Problems

Viet Hung Nguyen (1, 2)

1 LIMOS - Laboratoire d'Informatique, de Modélisation et d'Optimisation des Systèmes
2 DECISION

Dans cette habilitation à diriger des recherches, nous présentons nos contributions aux formulations mathématiques pour des problèmes d’optimisation combinatoire impliquant des structures de bases de la théorie des graphes comme cycles, trees, paths, étoiles, couvertures, coupes, partitions, … Nous nous intéressons à la caractérisation de l’enveloppe convexe des vecteurs caractéristiques des solutions dans l’espace natuelle de leur description or dans des espaces étendues. En particulier, nous montrons que l’enveloppe convexe des arbres de Huffman peut avoir une complexité plus que exponentielle. Nous obtenons également une généralisation du théorème de König en caractérisant l’enveloppe convexe des (sous)-étoiles. Nous considérons le polytope des métriques qui est une relaxation de base de nombreux problèmes comme coupe maximum, multiflots, partitionnement de graphes, … pour lequel une formulations étendue de O(n³) intégalités de triangle est connue. Nous montrons que pour les graphes peu denses, on peut réduire la taille de cette formulation à O(n²), voire à O(n) pour les graphes séries-parallèle. Nous nous intéressons ensuite à la conception des algorithmes exacts ou approché avec garantie de performance avec l’utilisation des formulations mathématiques. En particulier, nous proposons des analyses plus fines des formulations mathématiques existants permettant de dériver de nouvel algorithme ou de les renforcer et/ou de réduire leur taille. En particulier, nous présentons un nouvel algorithme pour la détection des cycles de coût négatif dans un graphe non-orienté basée sur une caractérisation du cône des cycles de Paul Seymour. De plus, cet algorithme permet d’améliorer la complexité du problème. Nous concevons également des algorithmes exacts pour des problèmes ayant des applications dans la conception des réseaux de télécommunications ou dans le domain du calcul de haute performance comme le problème Anneau-Etoile, conception des réseaux SONET/SDH, partitionnement de graphes avec contraintes de capacité et/ou de sac-à-dos avec ou non de l’incertitude. Enfin, nous proposons des algorithmes approchés de type primal-dual ou cutting-planes pour des problèmes comme le voyageur de commerce avec pénalité, l’arborescence ou cycle de couverture de poids minimum dans un graphe orienté.

Mots clés: Combinatorial Optimization; Polyhedral combinatorics; Integer Programming; Approximation algorithms; Max Cut Problem

Mots clés: Optimisation Combinatoire; Polyèdre Combinatoire; Programmation Linéaire en Nombres Entiers; Algorithmes approchés avec garantie de perfomance; Algorithmique des Graphes; Problème de la coupe maximum

Domaines: Mathématique discrète [cs.DM]

Viet Hung Nguyen. Contributions to natural and extended formulations for Combinatorial Optimization Problems: Applications to exact and approximation algorithms. Discrete Mathematics [cs.DM]. Sorbonne Université UPMC, 2016. ⟨tel-03980401⟩