On functional equations of p-adic L-functions for GL(2)

Sur les équations fonctionnelles des fonctions L p-adiques pour GL(2)

Duc Nam Nguyen (1)

1 LPP - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524

For a regular non-critical p-refinement of a cohomological cuspidal automorphic representation of GL(2) over a totally real number field, we prove a functional equation of its attached p-adic L-function. We obtain it from the interpolation formula between p-adic and complex L-functions and the functional equation of L-functions. We use this functional equation to prove the trivial zero conjecture at the central critical point.On the other hand, we develop a theory of overconvergent modular symbols with values in p-adic distributions on the projective line of the field of p-adic rational numbers inspired by Stevens's overconvergent modular symbols and the idea of Colmez with the hope that one can obtain some functional equations of p-adic L-functions involving the transformation mapping z to its inverse on the projective line of p-adic rational numbers.

Pour un p-raffinement non-critique et régulier d'une représentation automorphe cuspidale cohomologique de GL(2) sur un corps de nombres totalement réel, nous prouvons une équation fonctionnelle de sa fonction L p-adique attachée. Nous obtenons cela grâce à la formule d'interpolation entre les fonctions L p-adiques et complexes et l'équation fonctionnelle des fonctions L. Nous utilisons cette équation fonctionnelle pour prouver la conjecture des zéros triviaux au point critique central.D'autre part, nous développons une théorie des symboles modulaires surconvergents à valeurs dans des distributions p-adiques sur la droite projective du corps des nombres rationnels p-adiques inspirée par les symboles modulaires surconvergents de Stevens et une idée de Colmez dans l'espoir d'obtenir certaines équations fonctionnelles des fonctions L p-adiques faisant intervenir la transformation de z en son inverse sur la droite projective des nombres rationnels p-adiques.

Mots clés: P-Adic L-Functions; Functional equation; Trivial zero conjecture; Automorphic representations; Overconvergent modular symbols; P-Adic distributions

Mots clés: Conjecture du zéro trivial; Symboles modulaires surconvergents; Distributions p-Adiques; Groupe général linéaire

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Duc Nam Nguyen. On functional equations of p-adic L-functions for GL(2). Number Theory [math.NT]. Université de Lille, 2022. English. ⟨NNT : 2022ULILB027⟩. ⟨tel-03979091⟩