Algorithmic approach to statistics: piecewise-deterministic processes and random trees

Approches algorithmiques pour la statistique : processus déterministes par morceaux et arbres aléatoires

Romain Azaïs (1)

1 MOSAIC - Simulation et Analyse de la morphogenèse in siliCo

Ce manuscrit donne une présentation synthétique et une mise en perspective de morceaux choisis de mes travaux de recherche effectués depuis 2014 en vue de l’obtention de l’habilitation à diriger des recherches en mathématiques appliquées. Ceux-ci portent principalement sur l’analyse statistique de deux objets mathématiques : les processus déterministes par morceaux et les arbres aléatoires. Les premiers constituent un modèle dynamique sur un espace continu en temps continu quand les seconds sont statiques et intrinsèquement discrets. S’ils sont donc de nature différente, l’approche suivie pour leur étude statistique est commune : développer des méthodes algorithmiques d’extraction de l’information rigoureuses, fondées sur la théorie et vérifiées expérimentalement. C’est cette idée que les quatre chapitres de ce mémoire cherchent à illustrer. Les deux premiers chapitres sont consacrés aux processus markoviens déterministes par morceaux. On s’intéresse d’abord au problème de l’estimation de leur taux de saut dans un cadre général et lorsqu’une unique trajectoire en temps long est observée. On se concentre dans un second temps sur l’estimation de fonctionnelles liées aux croisements, continus ou survenant lors de sauts, de ces processus. On propose dans les deux derniers chapitres de ce manuscrit des méthodes d’analyse statistique des données arborescentes. On commence par étudier théoriquement à travers un modèle probabiliste le noyau des sous-arbres pour en proposer ensuite des généralisations. Enfin, on construit des estimateurs consistants des paramètres inconnus de la loi de naissance d’arbres de Galton-Watson conditionnés par la taille ou la hauteur.

Mots clés: Piecewise-deterministic Markov process; Jump rate; Nonparametric estimation; Random trees; Convolution kernel; Enumeration; Galton-Watson process

Mots clés: Processus markovien déterministe par morceaux; Taux de saut; Estimation non-paramétrique; Arbres aléatoires; Noyau de convolution; Enumération; Processus de Galton-Watson

Domaines: Mathématiques [math]; Informatique [cs]

Romain Azaïs. Approches algorithmiques pour la statistique : processus déterministes par morceaux et arbres aléatoires. Mathématiques [math]. ENS de Lyon, 2022. ⟨tel-03953630⟩