Cosmic microwave background properties in a universe with simply or multiply connected topology
Propriétés du Fond diffus cosmologique micro-ondes dans un univers à topologie simplement connexe ou multi-connexe
Résumé
The standard cosmological model, in the frame of the General Theory of Relativity (hereafter GR), assumes that the Universe is isotropic and homogeneous and that the Copernican principle is valid. This model does not explicitly prescribe whether the Universe is spatially infinite or finite given that GR does not constrain the topology or the finiteness of the Universe. However, in practice, a model of structure formation and global evolution of the Universe derived with GR at an appropriate spatial resolution requires assumptions on the global topology. The Cosmic Microwave Background (CMB) temperature anisotropies in the standard model are projected over the 2-sphere which determines the comoving finite limit in space of our observable Universe. The CMB as observed from Earth accounts for the local spacetime geometry and energy-momentum sources. In the standard ΛCDM universe model, the energy-momentum content includes phenomenologic dark energy in the form of a cosmological constant Λ and cold dark matter (CDM). ΛCDM is a parametric cosmological model, based on six cosmological parameters (see appendix 8.2.2), although its parametrization could be extended up to six additional parameters. The parametrization of the ΛCDM model allows to explore the variants of this model. Each variant being characterized by a change in the CMB power spectrum, thus the CMB and its power spectrum offer a diagnosis picture of the ΛCDM Universe. These model predictions are globally in excellent conformity with most of the observations of our Universe, interpreted within this model. However, several anomalies of the cosmological observations are ascertained with respect to the forecasts of the ΛCDM model. Notably, the CMB spectrum of the infinite ΛCDM Universe differs from the spectrum of the observed CMB.
The CMB temperature map is impacted by biases due to spacetime geometry and sources traversed by the photons in their trajectory from the last scattering surface. Once corrected from these effects, the primordial CMB temperature map shows several anomalies at large angular scale with respect to the CMB map in the ΛCDM Universe. This model assumes adiabatic expansion of the Universe, and prescribes the properties of isotropy, homogeneity and Gaussianity of the primordial CMB temperature anisotropies.
In my thesis work and in this Manuscript I am interested, notably, in a peculiarity of the CMB data which is in disagreement with the prescription of global isotropy of the CMB. Indeed, the CMB two-point correlation function (hereafter 2-pcf) in the ΛCDM Universe presents non-zero correlations at any angular scale, i.e. from 0◦ to 180◦. However, the 2-pcf of the CMB observation map displays a lack of correlation at large angular scale, for angles > 60◦. This absence of correlation over the last two thirds of the range of 180◦ is in disagreement with the result of the ΛCDM model. Moreover, no change in the values of the 6 parameters of the standard model accounts for this discrepancy. But it is by reconsidering the global topology of the Universe with multiply connected manifolds that a solution to this problem appears. Indeed, simulation maps of the CMB in a model universe having the multiply connected topology, of e.g. the Poincaré dodecahedron (current name of the orientable topological manifold precisely named Poincaré’s homology sphere) or the 3−torus both show a lack of correlation of the 2-pcf at large angles. Both the dodecahedron (of constant positive intrinsic curvature) and the 3−torus (of vanishing constant intrinsic curvature) are compact topological manifolds, finite and without boundary. During my PhD studies, I have analysed, using different strategies and developing different tools, both statistical and morphological (thereafter morpho-statistical), three kinds of CMB temperature maps, (i) observed by the probes WMAP and Planck, (ii) generated from the universe model with 3−toroidal topology and (iii) generated from the infinite ΛCDM model.
What is new is that the investigations made during my PhD lead to develop and numerically implement a statistical signature ρ of a multiply connected universe model that is complementary to the signature of the 2-pcf. The work and the results are presented in detail in a published paper and in the dedicated chapter of this Manuscript. Our team paper [1] not only proves that the signature ρ allows to sort, monotonically, the universe models as a function of the spatial size, but yet shows that the CMB maps with 3−torus topology stay statistically consistent with the high level of isotropy and homogeneity, defined in the sense of ρ, of the CMB maps in the ΛCDM model.
In the second published article [2], presented in this Manuscript, we investigate in a model-independent way, the deviations from Gaussianity in the CMB maps. In the standard model, the temperature map of the Cosmic Microwave Background is assumed to be isotropic, homogeneous and Gaussian (giving the acronym IHG) at the angular scales larger than the primordial horizon of ∼ 0.6◦. Violation of Gaussianity at these scales for the last CMB data available could mean that the previous conclusions on the primordial Universe and the hypothesis of the outcome of standard models of inflation have to be modified. The analyses in this work are chiefly based on a class of statistical and morphological descriptors, the Minkowski Functionals (thereafter MFs), applied first in cosmology in 1994 by Mecke, Buchert and Wagner and broadly used after. Our team paper confirms the weak level of non-Gaussianity (thereafter NG) of the CMB temperature anisotropy map as observed by Planck. As a consequence, the perturbative expansion of the CMB NG is justified and applied all along this investigation. It is shown that our model-independent development of the CMB non-Gaussianity in Hermite polynomials converges with an increasing precision depending only on the order of expansion. Our method applies as well to any form and amplitude of non-Gaussianity. We also verify that the model-dependent development with hierarchical ordering biases the description of the primordial NG. Moreover, we observe that these perturbative expansions are made in series of the term σ0 which is not negligible. At last, our computations put into light the weak non-Gaussianity, in the sense of the Minkowski Functionals, of the CMB temperature map observed by Planck, in comparison with the higher NG of the ΛCDM CMB maps which are Gaussian by construction.
Le modèle cosmologique standard, dans le cadre de la théorie de la Relativité Générale (notée GR), suppose que l’Univers est isotrope et homogène et que le principe copernicien est valide. Ce modèle ne prescrit pas explicitement si l’Univers est spatialement infini ou fini. En effet la GR ne contraint pas la topologie ou l’extension spatiale de l’Univers. Cependant, en pratique, un modèle de formation de structure et d’ évolution globale de l’Univers, dérivé avec la GR à une résolution spatiale appropriée, requiert une connaissance à priori de la topologie globale. Les anisotropies de température du fond diffus cosmologique (ci-après CMB), dans le modèle standard, sont projetées sur la 2−sphère qui détermine la limite spatiale finie comobile de notre Univers observable. L’observation du CMB, depuis notre planète, résulte des effets que, la géométrie de l’espace-temps local et global, et les sources d’énergie au sens des composantes du tenseur énergie-impulsion de la GR, ont sur la propagation des photons. Le modèle standard d’Univers est le modèle ΛCDM, dont le contenu en énergie, outre l’énergie associée à la matière ordinaire, inclut l’énergie sombre (DE) sous la forme d’une constante cosmologique Λ, et l’énergie de la matière sombre froide (CDM). ΛCDM est un modèle cosmologique paramétrique, basé sur six paramètres cosmologiques, quoique sa paramétrisation puisse être étendue à six paramètres additionnels. La paramétrisation du modèle ΛCDM permet d’en explorer les variantes. Chaque variante étant caractérisée par une modification du spectre de puissance angulaire des anisotropies de température du CMB. Ainsi, le CMB et son spectre de puissance offrent un diagnostic synoptique de l’Univers ΛCDM. Les prédictions de ce modèle sont globalement en excellente conformité avec la plupart des observations de notre Univers. Ces observations étant interprétées dans ce modèle. Cependant, plusieurs anomalies dans les observations cosmologiques sont constatées par rapport aux prévisions du modèle ΛCDM. Notamment, le spectre du CMB de l’Univers ΛCDM infini diffère du spectre du CMB observé.
La carte de température du CMB est affectée de biais dus à la géométrie de l’espace-temps et aux sources traversées par les photons dans leur trajectoire depuis l’ époque de dernière diffusion. Corrigée de ces effets, la carte de température du CMB primordial, montre plusieurs anomalies à grande échelle angulaire, par rapport au CMB du modèle ΛCDM. Ce modèle suppose une expansion adiabatique de l’Univers, et prescrit les propriétés d’isotropie, d’homogénéité et de gaussianité des anisotropies de température du CMB primordial.
Durant mon travail de thèse, et dans ce Manuscrit, je m’intéresse notamment à une particularité des données du CMB qui est en désaccord avec la prescription d’isotropie globale du CMB dans le modèle standard. En fait, la fonction de corrélation à deux points (ci-après 2-pcf) dans l’Univers ΛCDM, révèle des corrélations non nulles à toutes les échelles angulaires, soit de 0 à 180º. Cependant, la 2-pcf du CMB observé affiche une absence de corrélation aux grandes échelles angulaires, c’est à dire pour les angles > 60º. Ce manque de corrélation sur les deux derniers tiers de la plage de 180º est en anomalie avec le résultat du modèle ΛCDM. De plus, aucun changement dans la valeur ou le choix des 6 paramètres du modèle standard ne conduit à ce défaut de corrélation angulaire. Mais, c’est en reconsidérant la topologie globale de l’Univers avec des variétés multi-connexes qu’une solution à ce problème est obtenue. Ainsi, des cartes de simulation du fond diffus cosmologique dans un Univers de modèle ayant une topologie multi- connexe, par exemple celle du dodécaèdre de Poincaré (dénomination courante de la variété topologique orientable précisément appelée sphère d’homologie de Poincaré) ou bien celle du 3−tore, affichent également un manque de corrélation de la 2-pcf aux grands angles. Le dodécaèdre de Poincaré (de courbure intrinsèque positive constante) et le 3−tore plat (de courbure intrinsèque constante nulle) sont deux variétés topologiques compactes, finies et sans bord. Durant mes recherches de thèse, je développe ou adapte plusieurs outils d’analyse morphologique et statistique (morpho-statistique) pour les cartes du CMB. J’analyse, en recourant à différentes stratégies, trois variétés de cartes de température du CMB, (i) observée par les sondes WMAP et Planck, (ii) générées à partir de modèle d’Univers à topologie multi-connexe tel que le 3−tore et (iii) générées à partir du modèle d’Univers infini ΛCDM.
Ce qui est nouveau, c’est que les investigations accomplies pendant ma thèse, conduisent à développer et implémenter numériquement pour le CMB, une signature statistique ρ, d’Univers multi-connexe complémentaire de la fonction de corrélation à deux points décrite plus haut. Les travaux et résultats sont présentés en détail dans notre article d’équipe publié 1 et dans le chapitre dédié de ce Manuscrit. Non seulement, l’article prouve que la signature de variance du gradient de température ρ permet de classer monotoniquement les modèles d’Univers en fonction de leur extension spatiale, mais encore montre que les cartes du CMB avec topologie trois-toroïdale restent statistiquement compatibles avec le haut niveau d’isotropie et d’homogénéité, défini au sens de ρ, des cartes de température du CMB du modèle standard infini.
Dans le second article publié, présenté dans ce Manuscrit, nous recherchons, de manière modèle-indépendante, les écarts à la gaussianité de cartes du CMB. Dans le modèle standard, le fond diffus cosmologique est supposé être isotrope, homogène et gaussien (donnant l’acronyme IHG) pour les échelles angulaires plus grandes que l’horizon primordial de 0.6º. Une violation de la gaussianité à ces échelles pour les dernières données CMB, pouvant signifier que les précédentes conclusions sur l’Univers primordial et les hypothèses de modèles standards avec inflation doivent être modifiées. Les analyses sont menées principalement avec une classe de descripteur statistique et morphologique, les Fonctionnelles de Minkowski (ci-après MFs), appliquées en cosmologie dès 1994 par Mecke, Buchert et Wagner.
Notre article d’équipe 2 confirme le faible niveau de non-gaussianité (ci-après NG) de la carte d’anisotropie de température du CMB observé par Planck. Par conséquent, le développement perturbatif de la NG du CMB est justifié et appliqué tout au long de ce travail. Y est montré, que notre développement modèle indépendant de la non-gaussianité du CMB en polynômes d’Hermite, converge avec une précision croissante dépendant seulement de l’ordre du développement. Notre méthode s’appliquant aussi à toute forme et amplitude de non-gaussianité. Nous vérifions également que le développement modèle dépendant avec ordonnancement hiérarchique biaise la description de la non-gaussianité primordiale. De plus, nous observons que ces développements modèle dépendants en séries perturbatives sont faits en fonction du terme σ0 qui est de valeur non négligeable. Enfin, nos calculs mettent en évidence la plus faible non-gaussianité, au sens des Fonctionnelles de Minkowski, de la carte de température du CMB observé par Planck en comparaison avec les cartes gaussiennes par construction du CMB du modèle ΛCDM.
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