Local computation of homology variations over a construction process
Calcul incrémental des groupes d'homologie d'un objet au cours d'un processus de construction
Résumé
Topology-based geometric modeling involves objects subdivided into cells of various dimensions (vertices, edges, faces, volumes...). Computing topological invariants (orientability, contractibility, Euler characteristic...) helps to characterize the structure of these objects. Especially, homology is a topological invariant usually studied to characterize the holes of an object in any dimension (connected components in dimension 0, tunnels in dimension 1, cavities in dimension 2 etc. . .).Classically, computing the homology of an object requires to study the incidence relationships between all of its cells. In this thesis, we’re interested in computing incrementally the homology variations of an object evolving during a construction process. To achieve this goal, we are using effective homology results [1], and more specifically the effective short exact sequences theorem (SES theorem).Progressing from a construction step to an other is done by applying a local operation on the object and consists either in merging cells (identification) or in splitting cells (desidentification). The SES theorem is used to maintain a homological equivalence over the construction process. It relates the object to a smaller one having "the same" homology. At each step, homology is computed using this small object rather than the object itself, so that the computation is more efficient.In this context, we analyze the computational costs implied by the SES theorem. We observe that, in order to compute homology ranks at each step, the time complexity to maintain a homological equivalence depends on the amount of cells that the operation impacts (and their star), and the space complexity between two steps also grows accordingly. To ensure these results in practice, we highlight some prerequisites that an implementation has to fulfill. We provide a data structure that can be used for this purpose. It consists in maintaining some data in order to track the evolution of the cells of a topological structure over the construction process, that is the fact that some cells may die or be created. Depending on these evolutions, it is used to update every elements maintained over the construction process and used by the SES theorem, such as the boundary matrices of chain complexes.Next, we suppose that the object is too bulky to be manipulated by a single computation unit. We propose an algorithm to compute the homology of a distributed object evolving during a construction process made up only of identifications. The object is implicitly represented through its distribution and an identification describing a way to reconstruct it from its distribution. At each step, when an identification is applied on the object, these data are updated so that, at the next step, homology can be computed without reconstructing the object.At last, we provide a common framework between effective homology and persistent homology. More precisely, we look into the works dealing with towers, which are sequences of simplicial complexes linked to one another through simplicial maps [2].[1] Julio Rubio and Francis Sergeraert. Constructive homological algebra and applications.Technical report, Universidad de la Rioja, Université Grenoble Alpes, 2006[2] Tamal K Dey, Fengtao Fan, and Yusu Wang. Computing topological persistence forsimplicial maps. In Proceedings of the thirtieth annual symposium on Computational geometry,pages 345–354, 2014
En modélisation géométrique à base topologique, les objets manipulés sont subdivisés en cellules de différentes dimensions (sommets, arêtes, faces, volumes. . .). Dans ce cadre, le calcul d’invariants topologiques (orientabilité, contractilité, caractéristique d’Euler. . .) permet de caractériser la structure de ces objets. En particulier, l’homologie est un invariant topologique usuellement étudié, permettant intuitivement de caractériser les trous d’un objet en toute dimension (composantes connexes en dimension 0, tunnels en dimension 1, cavités en dimension 2 etc. . .).Classiquement, le calcul de l’homologie d’un objet nécessite d’étudier les relations d’incidence de toutes ses cellules. Dans cette thèse, on s’intéresse au calcul incrémental des variations de l’homologie d’un objet évoluant dans un processus de construction. Pour cela, nous utilisons des résultats de l’homologie effective [1], et plus particulièrement le théorème des suites exactes courtes effectives (théorème SECE). Le passage d’une étape de construction à l’autre se fait par application d’une opération locale consistant à fusionner des cellules (identification), ou, à l’inverse, à les scinder (désidentification). Le théorème SECE est utilisé pour maintenir une équivalence homologique au fil des étapes. Cette dernière associe l’objet à un plus petit objet de "même" homologie. À chaque étape, l’homologie peut être calculée à partir du petit objet, ce qui est plus efficace que de la calculer à partir de l’objet lui-même.Dans ce contexte, nous proposons une analyse du coût des calculs mis en jeu par le théorème SECE. Il en résulte que, pour calculer les rangs des groupes d’homologie à chaque étape, la complexité en temps du maintien de l’équivalence homologique dépend seulement du nombre de cellules impactées par l’opération (et de leur étoile), et la complexité en espace croît en fonction du nombre de cellules impactées par l’opération. Pour garantir ces complexités en pratique, nous distinguons plusieurs prérequis qu’une implémentation doit respecter. Nous proposons une structure de données vérifiant ces prérequis. Elle inclut des informations pour suivre l’évolution des cellules d’une structure topologique au fil du processus de construction, c’est-à-dire le fait que des cellules puissent mourir ou être créées à chaque étape. En fonction de ces évolutions, elle est utilisée pour mettre à jour les éléments maintenus au fil du processus et utilisés dans le théorème SECE, comme par exemple des matrices de bord de complexes de chaînes.Ensuite, nous nous intéressons aux cas où l’objet est trop volumineux pour être manipulé par une seule unité de calcul. Nous proposons un algorithme permettant de calculer l’homologie d’un objet distribué évoluant dans un processus de construction composé uniquement d’identifications. L’objet est manipulé implicitement au travers de sa distribution et d’une identificationpermettant de le reconstruire à partir de sa distribution. À chaque étape, ces données sont mises à jour afin de permettre le calcul de l’homologie de l’étape suivante sans avoir à reconstruire l’objet.Enfin, nous mettons en évidence un cadre commun à l’homologie effective et à l’homologie persistante. En particulier, nous nous intéressons aux travaux concernant les tours, des séquences de complexes simpliciaux reliés entre eux par des applications simpliciales [2].[1] Julio Rubio and Francis Sergeraert. Constructive homological algebra and applications.Technical report, Universidad de la Rioja, Université Grenoble Alpes, 2006[2] Tamal K Dey, Fengtao Fan, and Yusu Wang. Computing topological persistence forsimplicial maps. In Proceedings of the thirtieth annual symposium on Computational geometry,pages 345–354, 2014
Origine : Version validée par le jury (STAR)