On qualitative properties of multi-solitons
Propriétés qualitatives des multi-solitons
Résumé
This thesis is devoted to the qualitative properties of the multi-solitons of three nonlinear focusing dispersive partial differential equations. The first new results concern the nonlinear Schrödinger equation (NLS). We construct smooth multi-solitons and prove a conditional uniqueness result for the multi-solitons of (NLS) in the stable and L2-critical cases. Moreover, we state a Liouville property in the neighborhood of the multi-solitons of the generalized Korteweg-de Vries equation (gKdV). It consists of a rigidity result which relies on the concept of non dispersion. In the integrable cases, this concept allows us to characterize the multi-solitons. We also study the pointwise behavior of the multi-solitons of (gKdV). Lastly we consider the nonlinear Klein-Gordon equation (NLKG). We construct an N-parameter family of N-solitons with exponential decrease in time which is unique in a class with polynomial decay. In the case of one solitary wave, the classification is obtained in a general way.
Cette thèse est consacrée aux propriétés qualitatives des multi-solitons de trois équations aux dérivées partielles non-linéaires dispersives focalisantes. Les premiers résultats nouveaux concernent l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLS). Nous construisons des multi-solitons réguliers et démontrons un résultat d'unicité sous condition pour les multi-solitons de (NLS) dans les cas stable et L2-critique. Par ailleurs, nous énonçons une propriété de Liouville au voisinage des multi-solitons de l'équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV). Il s'agit d'un résultat de rigidité qui repose sur le concept de non-dispersion. Dans les cas intégrables, ce concept permet de caractériser les multi-solitons. Nous étudions également le comportement ponctuel des multi-solitons de (gKdV). Enfin, nous considérons l'équation de Klein-Gordon non-linéaire (NLKG). Nous construisons une famille à N paramètres de N-solitons à décroissance exponentielle en temps qui est unique dans une classe à décroissance polynomiale. Dans le cas d’une seule onde solitaire, la classification est obtenue de façon générale.
Origine : Version validée par le jury (STAR)