Geometry of representation manifolds in solvable Lie groups and 3 dimensional geometry
Géométrie des variétés de représentations dans des groupes de Lie résolubles et géométrie en dimension 3
Résumé
In this thesis, we are interested in the character variety of a surface group with respect to a solvable Lie group.This is the the set of all homomorphisms of the fundamental group of a surface taking values in a Lie group, up to conjugacy.Character varieties have been intensively studied, mostly for the case of complex semisimple Lie groups, or more generally reductive groups.Here we focus on real solvable Lie groups.Actually, we will mostly be concerned with metabelian and nilpotent groups.In the first part, we study the topological structure of the character variety in such a setting, starting with the example of the real Heisenberg group, before settling the general case.In particular, we will study the Mapping Class Group's action on the character variety, as a first step towards drawing a parallel with the lower central series of the surface fundamental group.We explore the geometry of the character variety and representation variety in solvable and nilpotent Lie groups and show that it has a contact structure, and a natural Riemannian pseudo-metric of null signature.Bounded characteristic classes for semisimple Lie groups were largely studied in relation with the so-called Milnor-Wood inequalities.They provide bounds for the number of connected components of character varieties.In the solvable context, the number of connected components might be infinite and even for the Heisenberg group.Eventually we consider the Torelli group action on the character variety for surfaces with boundary, near points corresponding to abelian representation classes.We first show that the tangent representation factors through the abelianization.Finally, we prove that this abelian representation of the Torelli group at a generic point is equivalent to the Johnson homomorphism,if the Lie group is the Malcev completion of the second nilpotent quotient of the surface group.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à la variété des caractères d'un groupe de surface dans un groupe de Lie résoluble.Il s'agit de l'ensemble des morphismes du groupe fondamental d'une surface donnée à valeurs dans un groupe de Lie, à conjugaison près.Les variétés de caractères sont étudiées depuis longtemps, principalement dans le cadre de groupes de Lie semi-simples complexes, et plus généralement les groupes réductifs.Ici nous allons étudier le cas des groupes de Lie résolubles réels.En réalité, nous nous restreindrons aux groupes métabéliens et nilpotents.Dans une première partie nous étudierons la structure topologique de la variété des caractères, d'abord avec un exemple concret : le groupe de Heisenberg réel, avant d'aborder le cas général.Nous étudierons en particulier l'action du Mapping Class Group sur la variété des caractères, nous permettant d'ébaucher un parallèle avec la filtration centrale descendante du groupe fondamental de la surface.Nous explorerons ensuite la géométrie de la variété des caractères et de la variété des représentations, pour montrer qu'il existe une structure de contact, et une structure pseudo-riemannienne de signature nulle.Les classes caractéristiques bornées sont intensivement étudiées pour les groupes de Lie semi-simples, avec par exemples les inégalités de Milnor-Wood.Celles-ci donnent une borne sur le nombre de composantes connexes de la variété des caractères.Dans le cadre résoluble, le nombre de composantes connexes peut être infini, comme c'est déjà le cas pour le groupe de Heisenberg.Finalement nous étudierons l'action du groupe de Torelli sur la variété des caractères pour des surfaces à bord, près de points correspondant aux classes de représentations abéliennes.Nous verrons d'abord que la représentation dérivée se factorise à travers l'abélianisation.Enfin, nous démontrerons que cette représentation abélienne du groupe de Torelli en un point générique est équivalente au morphisme de Johnson,si le groupe de Lie est la complétion de Malcev du second quotient nilpotent du groupe de surface.
Origine : Version validée par le jury (STAR)