Large population limits of the Moran model and bifurcating Markov chains

Limites en grande population du modèle de Moran et chaines de Markov bifurcantes

Gorgui Gackou (1)

1 LMBP - Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal

This thesis jointly supervised by Clermont Auvergne University and Assane Seck University in Ziguinchor constitutes a scientific study based on two population models: the Moran model and the bifurcating Markov chains. Each of them is a main research topic. Their richness is of extraordinary quality through their diversity and the aspects they abound. For the Moran model, we study a quantification of the error made by approximating the discrete Moran process by a Wright-Fisher diffusion. This quantification is done in the presence of weak immigration and weak selection. Under the effect of environmental aspects, we have an exponential control in time of the error. By comparing the selection and immigration parameters, linear and time-uniform controls are obtained. For more details, you can refer to articles (1) and (2) which are in the second part of this manuscript.For the second point of this thesis, we are interested in bifurcating Markov chains. More precisely to the principles of moderate deviations for bounded functionals and dependent on a variable. This has been the subject of an article (Article 3) which is found in the second part of this manuscript.Further more detailed studies are near to complete those found in this manuscript.

Cette thèse en cotutelle entre l’université́ Clermont Auvergne et l’université Assane Seck de Ziguinchor constitue une étude scientifique qui repose sur deux modèles de populations : le modèle de Moran et les chaines de Markov bifurcantes. Chacun d’eux est un thème principal de recherche. Leur richesse est d’une qualité extraordinaire à travers leurs diversités et les aspects qu’ils regorgent. Pour le modèle de Moran, nous étudions une quantification de l’erreur commise en approximant le processus discret de Moran par une diffusion de Wright-Fisher. Cette quantification se fait en présence d’immigration et sélection faible. Sous l’effet des aspects environnementaux, nous avons un contrôle exponentiel en temps de l’erreur. En comparant les paramètres de sélection et d’immigration, des contrôles linéaire et uniforme en temps sont obtenus. Pour plus de détails, vous pouvez vous référer aux articles (1) et (2) qui se trouvent dans la deuxième partie de ce manuscrit. Pour le deuxième point de cette thèse, nous nous sommes intéressés aux chaines de Markov bifurcantes. Plus précisément aux principes des déviations modérées pour des fonctionnelles bornées et dépendant d’une variable. Ceci a fait l’objet d’un article (Article 3) qui se trouve dans la deuxième partie de ce manuscrit. D’autres études plus poussées sont envisagées pour achever celles qui se trouvent dans ce manuscrit.

Mots clés: Markov chains; Bifurcating Markov chains; Markov jump processes; Moran model; Wright-Fisher model; Limit theorems; Deviation inequalities; Transport inequalities; Martingales; Principle of moderate deviations; Principle of large deviations; Feynman-Kac formula; Ultracontractivity; Stochastic differential equations; Markov semigroups; Ergodicity

Mots clés: Chaines de Markov; Chaines de Markov bifurcantes; Processus markoviens de sauts; Modèle de Moran; Modèle de Wright-Fisher; Théorèmes limites; Inégalités de déviations; Inégalités de transport; Martingales; Principe des déviations modérées; Principe des grandes déviations; Formule de Feynman-Kac; Ultracontractivité; Equations différentielles stochastiques; Semigroupes de Markov; Ergodicité

Domaines: Statistiques [math.ST]; Probabilités [math.PR]

Gorgui Gackou. Limites en grande population du modèle de Moran et chaines de Markov bifurcantes. Statistiques [math.ST]. Université Clermont Auvergne; Université Assane Seck (Ziguinchor, Sénégal), 2021. Français. ⟨NNT : 2021UCFAC080⟩. ⟨tel-03663404⟩