Enumeration of triangulations modulo symmetries and of rooted triangulations counted by their number of (d − 2)-simplices in dimension d ≥ 2
Enumération de triangulations aux symétries près et de triangulations enracinées comptées avec leur nombre de (d-2) simplexes en dimension supérieure ou égale à 2
Résumé
O(N) invariants are the observables of real tensor models. We represent them by regularcolored graphs dual to d-dimensional triangulations. We enumerate the invariants usingpermutation group techniques and reveal that the algebraic structure organizing themdiffers from that of the unitary invariants. At fixed rank and fixed number of vertices,an associative semi-simple algebra with dimension the number of invariants naturallyemerges from the formulation. Using the representation theory of the symmetric group,we enlighten a few crucial facts: the enumeration of O(N) invariants gives a sum of constrainedKronecker coefficients, there is a representation theoretic orthogonal basis of thealgebra that reflects its dimension; normal ordered 2-point correlators of the Gaussianmodel evaluate using permutation group language, these functions provide other representationtheoretic orthogonal bases of the algebra.Tensor models are furthermore generalizations of matrix models and as such, it is naturalto ask whether they satisfy some form of the topological recursion. The world of unitaryinvariantobservables is howbeit much richer in tensor models. It is therefore a priori unclearwhich set of observables could satisfy the topological recursion. Here we show thatsome set of observables is present in arbitrary tensor models which have non-vanishingcouplings for the quartic melonic interactions. It satisfies the blobbed topological recursionin a universal way. The spectral curve is a disjoint union of Gaussian spectralcurves, with the cylinder function receiving an additional holomorphic part. This resultis achieved via a perturbative rewriting of tensor models as multi-matrix models dueto Bonzom, Lionni and Rivasseau. It is then possible to formally integrate all degreesof freedom except those which enter the recursion, meaning interpreting the Feynmangraphs as stuffed maps. We further provide new expressions to relate the expectations ofU(N)d-invariant observables on the tensor and matrix sides
Les invariants orthogonaux sont les observables des modèles de tenseurs réels. Nous les représentons au travers de graphes colorés et réguliers qui sont duaux à des triangulations de dimension d. Nous énumérons ces invariants à l’aide de méthodes empruntées au groupe symétrique et montrons que la structure algébrique qui les régit diffère du cas unitaire. À rang et nombre de sommets fixés, une algèbre associative et semi-simple de dimension le nombre d’invariants émerge naturellement de notre formulation. À l’aide de la théorie des représentations du groupe symétrique nous prouvons notamment que l’énumération des invariants orthogonaux se traduit par une somme de coefficients de Kronecker contraints et qu’il existe une base de Fourier orthogonale de l’algèbre qui reflète sa dimension. Les modèles de tenseurs généralisent les modèles de matrices, l’on est de fait en droit de se demander s’ils satisfont une certaine forme de récurrence topologique. Le monde des observables unitaires étant néanmoins bien plus riche pour les tenseurs, il est difficile a priori de savoir quel ensemble d’observables est en mesure de satisfaire cette récurrence. Un de ces ensembles est cependant présent dans tout modèle de tenseurs dont les constantes de couplage des interactions quartiques meloniques sont non nulles. La courbe spectrale est une union disjointe de courbes spectrales gaussiennes, et l’amplitude du cylindre se dote d’une part holomorphe. Ce résultat est obtenu par une réécriture perturbative des modèles de tenseurs en modèles dits multi-matrices, et due à Bonzom, Lionniet Rivasseau. Il est ainsi possible d’intégrer, du moins formellement, tous les degrés de liberté, sauf ceux entrant dans la récurrence. Les graphes de Feynman s’interprètent alors comme des cartes farcies. Finalement, nous donnons de nouvelles relations liant valeurs moyennes des observables tensorielles et matricielles
Origine : Version validée par le jury (STAR)