Quantitative estimates in stochastic homogenization of elliptic equations and systems
Estimations quantitatives en homogénéisation stochastique d’équations et de systèmes elliptiques.
Résumé
This PhD thesis aims at a better understanding of the quantitative theory of the stochastic homogenization of elliptic equations and systems. In Chapter 2, we investigate the case of linear elliptic systems with random coefficients and long-range correlation. We adopt a parabolic approach and, by combining tools from probability (in the form of logarithmic Sobolev inequalities) and regularity theory, we optimally quantify the time decay of the parabolic semigroup with an explicit dependence on the correlation length. In Chapter 3, we turn to the analysis of nonlinear elliptic equations and systems with strongly monotone coefficients. Under a short-range correlation assumption, we prove optimal estimates on the correctors and the two-scale expansion, by developing new perturbative large-scale estimates for the linearized operator. In Chapter 4 and 5 we prove estimates on the bias in the Representative Volume Element method applied to linear elliptic equations. Using a periodization in law of the coefficients instead of considering a more classical method based on “snapshot” of the media, we establish the optimal rate of convergence of the method with respect to the size of the box by performing the first order expansion of the error. This result is obtained by combining a general formula from Gaussian calculus in the form of Price’s formula that we generalise in the infinite-dimensional setting (in Chapter 4) and a two-scale expansion result of the Green’s function of the random linear elliptic operator together with stochastic estimates on the correctors (in Chapter 5).
Cette thèse de doctorat vise à mieux comprendre la théorie quantitative de l'homogénéisation stochastique des équations et systèmes elliptiques. Dans le chapitre 2, nous étudions le cas des systèmes elliptiques linéaires à coefficients aléatoires possédant des propriétés de corrélation à longue portée. Nous adoptons une approche parabolique et, en combinant des outils de la théorie de la régularité et des probabilités (sous forme d’inégalités de Sobolev logarithmique), nous quantifions de manière optimale la décroissance en temps du semi-groupe parabolique avec une dépendance explicite en la longueur de corrélation. Dans le chapitre 3, nous nous tournons vers l'analyse des équations elliptiques non linéaires à coefficients fortement monotones. Sous une hypothèse de corrélation à courte portée, nous prouvons des estimations optimales sur les correcteurs et l'expansion à deux échelles, en développant de nouvelles estimations aux grandes échelles perturbatives pour l'opérateur linéarisé. Dans les chapitres 4 et 5, nous établissons des estimations sur le biais de la méthode de l'élément de volume représentatif appliquée aux équations elliptiques linéaires. En considérant une périodisation en loi des coefficients au lieu d’une méthode plus classique basée sur des « snapshots » du médias, nous établissons le développement au premier ordre de l’erreur par rapport à la taille de la boîte. Ce résultat est obtenu en combinant un calcul Gaussien sous la forme de la formule de Price que l’on généralise à la dimension infinie (au chapitre 4) et un résultat d'expansion à deux échelles de la fonction de Green ainsi que des estimations stochastiques sur les correcteurs (au chapitre 5).
Origine : Version validée par le jury (STAR)