Nonsmooth dynamical systems : Application in optimization and sweeping processes
Systèmes dynamiques non-réguliers : Applications en optimisation et aux processus de rafles
Résumé
In this dissertation, we study some classes of nonsmooth dynamical systems. Namely, perturbed sweeping processes, sweeping processes with velocity constraints, and vibro-impact problems are investigated. The first topic is on the solution existence and uniqueness of nonconvex perturbed sweeping processes. In the setting adopted by Edmond and Thibault [Mathematical Programming 104 (2005), 347--373], we study a class of perturbed sweeping processes. Under suitable assumptions, we obtain two solution existence theorems for perturbed sweeping processes with the constraint sets being prox-regular sublevel sets. The results are applied to analyzing the behavior of some concrete mechanical sweeping processes. The second topic is on some classes of sweeping processes with velocity in a moving set. In addition to the solution existence and the solution uniqueness for the case of a moving convex constraint set, some results on the solution existence and the solution multiplicity where the constraint set is a finite union of disjoint convex sets are also obtained. Our main tool is a theorem on the solution sensitivity of parametric variational inequalities. Beside the traditional requirement that the constraint set moves continuously in the Hausdorff distance sense, we intensively use a new assumption on the local Lipschitz-likeness of the constraint set-valued mapping. The obtained results are compared with the existing ones and analyzed by several examples. In addition, some properties of solutions of convex sweeping processes with velocity constraints are also studied. Namely, the solution sensitivity with respect to the initial value, the boundedness, the closedness, and the convexity of the solution set are discussed in detail. The third topic is on a vibro-impact problem, which is described in the form of second-order measure differential inclusion. We are able to discretize our problem by the time-stepping algorithm and construct a sequence of approximate solutions which is proved to converge to a solution of the problem in consideration.
Dans cette thèse, nous étudions quelques classes de systèmes dynamiques non-réguliers. Plus précisément, les processus de rafles perturbés, les processus de rafles avec contraintes de vitesse ainsi que les problèmes de vibro-impact sur un ensemble de contraintes non-convexe dépendant du temps. Le premier sujet porte sur l'existence et l'unicité de solutions pour les processus de rafles perturbés non-convexes. Dans le cadre adopté par Edmond et Thibault [Mathematical Programming 104 (2005), 347--373], nous étudions une classe de processus de rafles perturbés. Sous des hypothèses appropriées, nous obtenons deux théorèmes d'existence de solutions pour les processus de rafles perturbés, les ensembles de contraintes étant des ensembles de sous-niveaux prox-réguliers. Les résultats sont appliqués à l'analyse du comportement de certains procédés de rafles en mécanique unilatérale. Le deuxième sujet porte sur certaines classes de processus de rafles avec vitesse dans un ensemble en mouvement. En plus de l'existence et l'unicité de la solution pour le cas d'un ensemble de contraintes convexe en mouvement, des résultats sur l'existence de la solution et la multiplicité de la solution où l'ensemble de contraintes est une union finie d'ensembles convexes disjoints sont également obtenus. Notre outil principal est un théorème sur la sensibilité des solutions des inéquations variationnelles paramétriques. Outre l'exigence traditionnelle selon laquelle l'ensemble de contraintes se déplace continuellement dans le sens de la distance de Hausdorff, nous utilisons intensivement une nouvelle hypothèse de type Lipschitz des multi-applications à valeurs dans l'ensemble de contraintes. Les résultats obtenus sont comparés à ceux existants et analysés à l'aide de plusieurs exemples. De plus, certaines propriétés de solutions de processus de rafles convexe avec des contraintes de vitesse sont également étudiées. En effet, la sensibilité des solutions par rapport à la valeur initiale, la limitation, la fermeture et la convexité de l'ensemble de solutions sont discutées en détail. Le troisième sujet porte sur un problème de vibro-impact, qui est décrit sous la forme d'inclusion différentielle à mesure de second ordre. Grâce à une discrétisation de notre problème par l'algorithme de pas de temps, on construit une suite de solutions approchées qui converge vers une solution du problème considéré.
Origine : Version validée par le jury (STAR)