Bilevel optimization and applications
Optimisation biniveau et applications
Résumé
A bilevel problem is an optimization problem where a subset of variables is constrained to be optimal for another given problem parameterized by the remaining variables. The outer problem is commonly referred to as the upper-level problem, the inner one as the lower-level problem. The first part of this dissertation concerns the key definitions, the solution approaches and the complexity of bilevel problems, as well as the study of a particular class of bilevel programs, having a quadratic lower level, the value of which is contained into an upper-level inequality constraint. Such bilevel problems can be obtained by reformulating semi-infinite programming problems with an infinite number of quadratically parametrized constraints. We propose an approach to solve this class of bilevel programs, based on the dualization of the lower-level. This approach is compared with a new cutting plane algorithm, which we prove to be convergent. The rate of convergence of this algorithm is derived under stricter assumptions and is directly related to the iteration index, which is something new w.r.t. what is usually proved in semi-infinite programming literature. We successfully test the two proposed methods on two applications: the constrained quadratic regression and a zero-sum game with cubic payoff.The second part of the thesis is devoted to practical applications. A chapter is dedicated to the aircraft conflict resolution problem. This problem essentially consists in enforcing a minimum distance between flying aircraft to avoid conflicts, using different strategies. We focus on two of them: speed regulations and heading angles changes. We present a natural semi-infinite formulation of the problem via speed regulation strategy in k dimensions. To deal with the issue of uncountably many constraints of this formulation, we reformulate it, firstly, using polynomial programming, and secondly, using bilevel programming. Then we also present a bilevel formulation of conflict resolution problem via heading angle changes in two dimensions (i.e. aircraft flying at the same altitude). In both bilevel formulations, the convexity of the lower levels allows us to derive three different single-level reformulations, using KKT conditions, Dorn’s duality, and Wolfe’s duality respectively. The single-level formulations of both problems are solved by using state-of-the-art solvers. Alternatively, we propose a cut generation algorithm to solve the bilevel problems, which fits in the general framework of the cutting plane algorithm presented in the first part. This algorithm obtains the best results in terms of computational time for most of the tested instances.Another application studied in this dissertation involves the Alternating Current (AC) Optimal Power Flow (ACOPF) problem at the lower level. The idea comes from the possibility for power generation in private households. In this scenario, we derive a bilevel problem to model the interaction between a retailer and several prosumers (consumers who can also produce, store and sell power), who interact with each other through an AC network. When, together with the ACOPF, one wants to optimally design a power transportation network with respect to line activity, an ACOPF with on/off variables on lines can be used, which yields a nonconvex mixed-integer nonlinear problem in complex numbers. We propose two convex relaxations, compared with the famous Jabr’s second-order cone relaxation.
Un problème biniveau est un problème où un sous-ensemble des variables est contraint d'être optimal pour un autre problème paramétré par les variables restantes. Le problème externe est appelé problème de niveau supérieur, le problème interne le problème de niveau inférieur. La première partie de cette thèse concerne les définitions clés, les approches de solution et la complexité des problèmes biniveaux, et l'étude d'une classe particulière de problèmes biniveaux, ayant un niveau inférieur quadratique, dont la valeur est contenue dans une contrainte de niveau supérieur. Nous proposons une approche pour résoudre cette classe de problèmes, basée sur la dualisation du niveau inférieur. Cette approche est comparée à un algorithme de plans coupants, dont nous prouvons la convergence. La validité de ces deux approches est démontrée par les résultats de calcul sur deux applications: un jeu à somme nulle avec un gain cubique et une régression quadratique contrainte.La deuxième partie de la thèse est consacrée aux applications pratiques. Un chapitre est dédié au problème de résolution de conflits d'aéronefs (PRC). Ce problème consiste essentiellement à imposer une distance minimale entre les avions en vol pour éviter les conflits, en utilisant différentes stratégies. Nous nous concentrons sur deux d'entre eux: les régulations de vitesse et les changements d'angle de cap. Nous présentons une formulation de programmation semi-infinie du PRC via régulation de vitesse en k dimensions. Nous la reformulons d'une part en utilisant la programmation polynomiale et d'autre part en utilisant la programmation biniveau. Ensuite, nous présentons une formulation biniveau du PRC via changements d'angle de cap en deux dimensions. Dans les deux formulations biniveau, la convexité des niveaux inférieurs nous permet de proposer trois reformulations différentes à un seul niveau, en utilisant les conditions KKT, la dualité de Dorn et la dualité de Wolfe. Les reformulations à un seul niveau des deux problèmes sont résolues en utilisant des solveurs de l’état de l’art. Alternativement, nous proposons un algorithme de génération de coupes pour résoudre les problèmes biniveau, qui s'inscrit dans le cadre général de l'algorithme de plans coupants présenté dans la première partie. Cet algorithme obtient les meilleurs résultats en terme de temps pour la plupart des instances testées.Une autre application étudiée dans cette thèse concerne le Alternating Current (AC) Optimal Power Flow (ACOPF) au niveau inférieur. Dans un horizon temporel discrétisé fixe, un problème biniveau est derivé pour modéliser l'interaction entre un fournisseur et des prosommateurs (consommateurs qui peuvent également produire, stocker et vendre de l'électricité), qui interagissent entre eux via un réseau à courant alternatif. Lorsque, avec l'ACOPF, on veut concevoir de manière optimale un réseau de transport d'électricité par rapport à l'activité des lignes, un ACOPF avec des variables on/off sur les lignes peut être utilisé, en obtenant un problème non linéaire en variables mixtes non convexe en nombres complexes. Dans ce scénario, nous proposons deux relaxations convexes, comparées à la célèbre relaxation conique du second ordre de Jabr.
Origine : Version validée par le jury (STAR)