Some Advances in Mean Field Games Theory

Quelques Avancements dans les Jeux à Champ Moyen

Michele Ricciardi (1)

1 CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision

The Mean Field Games Theory was born to describe the behaviour of a N players system, which play their strategies in order to minimize a certain cost functional. The system associated with Nash equilibria, under suitable hypotheses, converge towards a solution of the Mean Field Games system. This system consists of a Hamilton-Jacobi equation for the value function, coupled with a Fokker-Planck equation for the density of the players. There is a huge literature concerning Mean Field Games, but in general the authors consider the case where the dynamic acts in the whole space or in the torus (periodic solutions). But in many applied models boundary conditions turn out to be a crucial issue, and it is usefule to work with a process which remains in a certain domain of existence. This condition can be obtained, for example, by prescribing Neumann conditions on the Mean Field Games system, or with a wise choice of the drift and the diffusion terms in order to satisfy the required restriction. In the latter case we talk about Mean Field Games with invariance conditions for the state space. In my thesis I will be focused on both aspects.

La théorie des Jeux à Champ Moyen a été développé pour décrire le comportement d'un système de joueurs qui agissent pour minimiser une fonction de coût. Le système associé aux équilibres de Nash, sous certain hypothèses, converge à la solution du système MFG. Il s'agit d'une équation de Hamilton-Jacobi, pour la fonction valeur du système, couplé avec une equation de Fokker-Planck pour la densité du processus de chaque joueur. Il y a une vaste littérature en ce qui concerne les Jeux à Champ Moyen, mais généralement on considère seulement le cas que la dynamique des joueurs est confinée dans tout l'espace ou dans le tore (solutions périodiques). Mais dans beaucoup d'applications c'est très important travailler avec un processus qui reste dans un certain domaine d'existence. Cette condition peut être obtenue, par exemple, en prescrivant des conditions de Neumann sur le système MFG. Alternativement, on peut confiner la dynamique en prenant les termes de drift et de diffusion afin de satisfaire la restriction requise. Dans ce cas on parle des MFG avec condition d'invariance. Dans ma thèse je serai focusé sur les deux aspects.

Mots clés: Mean field games; Partial Differential Equations; State constraints; Neumann conditions

Mots clés: Jeux à champs moyen; Équations aux dérivées partielles; Contraintes sur l’état; Conditions de Neumann

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Michele Ricciardi. Some Advances in Mean Field Games Theory. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Paris sciences et lettres; Università degli studi di Roma "Tor Vergata" (1972-..), 2020. English. ⟨NNT : 2020UPSLD005⟩. ⟨tel-03557590⟩