Numerical modeling of ribbons by curved elements
Modélisation numérique de rubans par éléments en courbures
Résumé
Ribbons are a thin structure intermediate between rods and shells. They are used to model a wide range of real objects at various scales. For example, at the nanoscopic scale we find proteins or DNA molecules that can be represented by ribbons. At the mesoscopic scale we find strips of fabric or paper. And at the macroscopic scale, ribbons are becoming popular in architecture, for example to build deployable structures. While many numerical models have been developed in the last decades for rods and plates, very few are specific to ribbons. In this thesis, we propose a robust and efficient numerical model to calculate the stable equilibrium states of a naturally flat or curved ribbon. Our contribution can be divided into three parts.First, the establishment of the numerical model relies on the analytic description of van der Heijden and Audoly. The spatial discretization is based on elements with linear normal curvature and quadratic geodesic torsion in the curvilinear abscissa, which allows a great richness of kinematic representations while guaranteeing the perfect inextensibility of the ribbon. The stable equilibria are calculated by minimizing the gravitational and elastic energies of the ribbon according to the Sadowsky or Wunderlich formulation, under developability constraints. The ribbon can be clamped at one or both of its extremities. Also, the contact is managed between the ribbon and one or more planes.In a second contribution, we compare our ribbon model to the super-clothoid rod model and the Naghdi shell model. Being more general, the shell model gives the same equilibria as our model. However, being non-specific, the shell model takes several minutes a given equilibrium, compared to the few seconds needed for our model. We thus validate the latter, while showing its effectiveness. However, the rod model with a flat cross-section does not reach the same equilibria, showing the usefulness of a ribbon model.Finally, we carry out a series of experiments, in particular the calculation of a heavy Moebius ribbon placed on a table, Benoît Roman's experiment consisting in constraining a ribbon between two plates, and a lateral buckling experiment. This finally leads us to discuss the limits of our reduced model, both in terms of the continuous equations on which it is based, and their discretization.
Les rubans constituent une structure mince intermédiaire entre les tiges et les coques. Ils servent à modéliser une large gamme d'objets réels à diverses échelles. Par exemple, à l'échelle nanoscopique on retrouve les protéines ou molécules d'ADN qui peuvent être représentées par des rubans. À l'échelle mésoscopique on retrouve les bandes de tissu ou de papier. Et à l'échelle macroscopique les rubans deviennent populaires en architecture, servant par exemple à réaliser des structures déployables. Si de nombreux modèles numériques ont été développés ces dernières décennies pour les tiges et les plaques, il en existe en revanche très peu qui soient spécifiques aux rubans. Dans cette thèse, nous proposons un modèle numérique robuste et efficace pour calculer les états d'équilibre stables d'un ruban naturellement plat ou courbé. Notre contribution se décompose en trois axes.Premièrement, l'établissement du modèle numérique s'appuie sur la description analytique de van der Heijden et Audoly. La discrétisation spatiale se base sur des éléments à courbure normale linéaire et torsion géodésique quadratique en l'abscisse curviligne, qui permettent une grande richesse de représentation cinématique tout en garantissant l'inextensibilité parfaite du ruban. Les équilibres stables sont calculés par minimisation des énergies de gravité et d'élasticité du ruban selon la formulation de Sadowsky ou de Wunderlich, sous contrainte de développabilité. Le ruban peut être encastré par une ou deux de ses extrémités. Aussi, le contact est géré entre le ruban et un ou plusieurs plans.Dans une seconde contribution, nous comparons notre modèle de ruban au modèle de tige des super-clothoïdes et au modèle de coques de Naghdi. Étant plus général, le modèle de coque donne les mêmes équilibres que ceux de notre modèle. Cependant, étant non spécifique, le modèle de coque prend plusieurs minutes pour converger vers l'équilibre, à comparer aux quelques secondes nécessaires à notre modèle. On valide ainsi ce dernier, tout en montrant son efficacité. De son côté, le modèle de tige avec une section plate ne parvient pas aux même résultats, montrant l'utilité d'un modèle de rubans.Enfin nous menons une série d'expériences, en particulier le calcul d'un ruban de Moebius pesant que l'on pose sur une table, l'expérience de Benoît Roman consistant à écraser un ruban entre deux plaques et une expérience de déversement latéral. Cela nous conduit finalement à discuter les limites de notre modèle réduit, tant au niveau des équations continues dont il s'inspire, que de leur discrétisation.
Origine : Version validée par le jury (STAR)