Krylov subspaces : solution regularization and convergence acceleration

Méthodes de Krylov : régularisation de la solution et accélération de la convergence

Frédéric Guyomarch (1)

1 IRISA - Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires

Many problems in scientific computation require to solve linear systems. Recent efficient solvers are based on Krylov methods. Their solution space is a Krylov subspace and the solution is then defined by an orthogonality condition, called Galerkin's condition. In the first part, the definition of the solution is modified for the resolution of ill-conditionned systems and a new regularization technique, based on polynomial filters, is introduced. The main interest in the method is that the shape of the filters is independant of the method. It can be arbitrary, and thus directed by the specificities of the problem. In the second part, the solution space is modified to accelerate the convergence. Two techniques are proposed. The first allows a Krylov subspace to be reused in the solution of a succeeding equation. The second, based on deflation techniques, tries to dampen the effect of the smallest eigenvalues. Moreover, it can be refined when solving multiple systems, to progressively eliminate the impact of these small eigenvalues. These algorithms are implemented and tested on problems from image analysis and mecanic. This numerical validation confirms the theoretical results.

De nombreux problèmes de calcul scientifique réclament la résolution de systèmes linéaires. Des algorithmes récents et performants pour résoudre ces systèmes sont basés sur les méthodes de Krylov. L'espace des solutions de celles-ci est un espace de Krylov et la solution est alors définie par une condition d'orthogonalité dite de Galerkin. Dans une première partie, on modifie la définition de la solution pour la résolution de systèmes mal-conditionnés, en introduisant une nouvelle technique de régularisation basée sur des filtres polynomiaux. Le point fort de cette méthode est que la forme des filtres n'est pas fixée par la méthode mais peut être quelconque, et donc dictée par les spécificités du problème. Dans la seconde partie, on modifie l'espace des solutions pour accélérer la convergence. Deux techniques sont explorées. La première permet de recycler un espace de Krylov utilisé pour résoudre une première équation. La seconde, basée sur des techniques de déflation, cherche à atténuer l'effet néfaste des plus petites valeurs propres. Cette dernière peut, de plus, s'affiner lors de la résolution de plusieurs systèmes, jusqu'à éliminer complètement l'impact de ces petites valeurs propres. Tous ces algorithmes sont implémentés et testés sur des problèmes issus de l'analyse d'images et de la mécanique. Cette validation numérique confirme les résultats théoriques.

Mots clés: Krylov subspaces; regularization; polynomial filters; deflation; conjugate gradient; linear solvers

Mots clés: déflation; filtres polynomiaux; régularisation; gradient conjugué; espace de Krylov; solveur linéaire

Domaines: Informatique [cs]

Frédéric Guyomarch. Méthodes de Krylov : régularisation de la solution et accélération de la convergence. Informatique [cs]. Rennes 1, 2000. Français. ⟨NNT : 2000REN10096⟩. ⟨tel-03384807⟩