Analysis and optimization of the diffusive representation method for distributed control applications with distributed computers
Analyse et optimisation de la méthode de représentation diffusive en vue d'applications au contrôle distribué avec calculateurs distribués
Résumé
In this thesis, we study the design and the implementation of generic control algorithms for systems composed of distributed MEMS in a semi-centralized context, i.e., only the direct neighbours can communicate. The control is computed in real time by a network of independent microcontrollers, each of them being associated with a couple of sensors and actuators. So the challenge is to introduce the possibility of communications between neighbour microcontrollers in order toimplement control laws based on communications between neighbours. We focus on distributed control applications of the diffusive application where real-time implementations are an essential feature. To address this problem, the diffusive realization (DR) theory and its approximation are used. The advantage of DR is to deal with nonlocal problems encountered in many physical situations. Firstly, we recall the diffusive realization theory presented in the PhD thesis of Yakoubi [36]. However, his results were rather inaccurate. More precisely, the DR theory requires an analytic extension of the kernel p. This leads to non-uniformly bounded extensions with respect to the number of polynomials which causes high numerical errors. Therefore, in this thesis we apply an additional change of variables to the kernel p and its extension so that they become defined in an extension domain which eliminates an important source of error. The DR theory and its approximation are illustrated on a Lyapunov equation arising from the optimal control theory of the heat equation. Then we discuss expected gains if the method is implemented on different parallel computer topologies based on corresponding designed networks. The envisioned applications are for realtime distributed control on distributed computing architectures. Namely, we present results for three parallel topologies: line topology, hypercube topology, binary topology. We also compare the computation times between our algorithm with these topologies and a direct spectral method with a line topology. These implementations considered in [7] offer a suitable parallel topology which is a good choice for real-time, embedded, massive, and low-cost computation. Finally, as in Weideman and Trefethen [35], but with a significantly different theoretical approach, we provide, an error estimate of the DR and use it in a contour optimization method. Namely, we establish that the approximation of the DR can be decomposed into a linear combination of inverse Laplace transforms. Then the error estimates from Theorem 4.1 of Stenger [32] are applied to the evaluation of the discretization error of each term in that combination. Moreover, the method has been extensively tested and some significant results are reported.
Cette thèse est consacrée à la conception d’algorithmes dans la perspective d’implantation de contrôles distribués temps réel implémentés sur un ensemble d’unités de calcul dont chacune ne peut communiquer qu’avec ses voisins directs et est associée à plusieurs capteurs et actionneurs. La solution étudiée dans cette thèse est fondée sur la théorie de la réalisation diffusive (RD) introduite pour des opérateurs temporels causaux définis sur la demi-droite réelle. Le premier chapitre est consacré au rappel du cadre théorique établi par M. Lenczner et Y. Yakoubi pour la réalisation d’opérateurs linéaires solutions d’équations opérationnelles sur des domaines bornés. La méthode numérique qu’ils ont introduite souffre d’un certain nombre de limitations conduisant à des résultats numériques entachés d’erreurs importantes. La faiblesse principale de leur approche réside dans l’utilisation du prolongement analytique hors de l’intervalle (-1,1) des polynômes de Legendre utilisés pour l’approximation du noyau de l’opérateur. La solution proposée consiste à définir un changement de variable supplémentaire qui garantit que le prolongement analytique du noyau est confiné `a l’intervalle (-1,1) et conduit à une réduction drastique de l’erreur. Cette nouvelle approche est appliquée à une équation de Lyapunov rencontrée dans le cadre du contrôle optimal de l’équation de la chaleur. Le deuxième chapitre analyse les coûts en temps de calcul d’implémentations sur différentes architectures parallèles. Trois architectures sont considérées : une ligne, un hypercube et un arbre binaire. Les temps de calcul sont évalués pour chacune de ces topologies et sont comparés à ceux d’une méthode directe mise en oeuvre sur une architecture en ligne. Finalement au troisième chapitre et pour la première fois des estimations d’erreur de la RD sont établies. Elles servent de base à l’optimisation des paramètres et donc à la minimisation du coût du calcul ce qui est déterminant dans la perspective d’applications temps-réel. Différentes approches sont considérées, mais celle qui est préférée consiste en la décomposition de la représentation diffusive en une combinaison linéaire d’inverses de transformations de Laplace et en l’utilisation d’estimations d’erreur qui s’y rapportent. Cette approche est validée par des expérimentations numériques.
Origine : Version validée par le jury (STAR)