Combinatorial formulae for invariants of knotted objects
Formules combinatoires pour les invariants d'objets noués
Résumé
This thesis focuses on low-dimensional topology, and more specifically on the invariants of various knotted objects : knots and links, 3-manifolds, welded objects, surfaces in dimension 4. The purpose of this work is the study of the various interactions between these invariants, whose constructions are very diverse, from a mainly combinatorial point of view. The thesis is made up of two completely independent chapters.In the first chapter, we give a surgery formula for the Casson-Walker-Lescop invariant of closed 3-manifolds, using combinatorial tools from the theory of finite type invariants. For this, we use the Konstevich-LMO universal invariants and the combinatorics of Jacobi diagrams. We obtain several low-degree intermediate results on the Kontsevich integral, by determining which combination extracted from diagrams recognizes classical invariants of knot theory. We also show how the Conway coefficients are read in this integral, and we give diagrammatic results of factorization of the Kontsevich coefficients.The second chapter gives, in low degrees, characterization results for finite type invariants of ribbon surfaces in dimension 4. For this, we classify ribbon knotted annuli modulo an equivalence relation called RC-equivalence, which is declined according to a degree parameter: for degrees 1, 2 and 3, this classification is obtained by classical invariants of ribbon surfaces (Alexander, Milnor). A preparatory work for degree 4 is also presented, showing that the tools used for the lower degrees are no longer sufficient. These topological results are obtained as corollaries of analogous results for the diagrammatic theory of long welded links. Indeed, the latter are linked to the ribbon surfaces via a surjective map, the Tube map, which preserves a certain number of structure and equivalence relations. The major part of the work therefore consists in studying the combinatorics of these diagrams, by means of arrow calculus, which is a welded analogue of Habiro's theory of claspers. Among several intermediate results, we study the group structure of welded long links up to w-equivalence.
Cette thèse porte sur la topologie de basse dimension, et plus spécifiquement sur les invariants des divers objets noués : nœuds et entrelacs, 3-variétés, objets soudés, surfaces en dimension 4. L’objet de ce travail est l’étude des interactions entre ces nombreux invariants, dont les constructions sont très diverses, d’un point de vue majoritairement combinatoire. La thèse est constituée de deux chapitre totalement indépendants.Dans le premier chapitre, on donne une formule de chirurgie pour l'invariant de Casson-Walker-Lescop des variétés closes de dimension 3, en utilisant des outils combinatoires provenant de la théorie des invariants de type fini. On utilise pour cela les invariants universels de Konstevich-LMO et la combinatoire des diagrammes de Jacobi. On obtient plusieurs résultats intermédiaires en petit degré sur l'intégrale de Kontsevich, en déterminant quelle combinaison extraite de diagrammes reconnaît des invariants classiques de la théorie des nœuds. On démontre également comment sont lus les coefficients de Conway dans cette intégrale, et on donne des résultats diagrammatiques de factorisation des coefficients de Kontsevich.Le second chapitre donne, en petit degré, des résultats de caractérisation des invariants de type fini des surfaces ruban en dimension 4. Pour cela, on classifie les enlacements d'anneaux de type ruban modulo une relation d'équivalence appelée RC-équivalence, qui se décline en fonction d'un paramètre de degré : pour les degrés 1, 2 et 3, cette classification est obtenue par des invariants classiques des surfaces ruban (Alexander, Milnor). Un travail préparatoire pour le degré 4 est également présenté, montrant que les outils utilisés pour les degrés inférieurs ne sont plus suffisants. Ces résultats topologiques sont obtenus comme corollaires de résultats analogues pour la théorie diagrammatique des entrelacs longs soudés. En effet, ces derniers sont reliés aux surfaces ruban via une application surjective, l'application Tube, qui préserve un certain nombre de structures et de relations d'équivalence. L'essentiel du travail consiste donc à étudier la combinatoire de ces diagrammes, au moyen du calcul de flèches, qui est un analogue soudé de la théorie des claspers d'Habiro. On en profite entre autres pour étudier la structure de groupe des entrelacs longs soudés, à w-équivalence près.
Origine : Version validée par le jury (STAR)