TDIness and Multicuts
Total dual intégralité et multicoupes
Résumé
In this thesis we study integer total dual integral (TDI) systems and box-totally dualintegral (box-TDI) polyhedra associated with multicuts.The rst polyhedron we consider is the ow cone, that is, the cone generated by theincidence vectors of ows and edges of a graph. This cone is box-totally dual integralif and only if the graph series-parallel. We provide a system describing the ow conemade of inequalities associated with the multicuts of the graph. This system has integercoefficients, and we prove that it is totally dual integral if and only if the graph is seriesparallel.Thereafter, when G is series-parallel, we provide the Schrijver system of the owcone. This is the unique totally dual integral system with integer coefficients describingthe ow cone such that the removal of any redundant constraint undermines its total dualintegrality.The second polyhedron we treat is the k-edge-connected spanning subgraph polyhedron,that is the convex hull of the k-edge-connected spanning subgraphs of a given graph. Werst show that the connector polyhedron - corresponding to the case k = 1 - is box-totallydual integral for all graphs. Then, we prove that the k-edge-connected spanningsubgraph polyhedron is box-totally dual integral for each k ≥ 2 if and only if the graph isseries-parallel.The description of the k-edge-connected spanning subgraph polyhedron being dependenton the parity of k, we provide two distinct totally dual integral systems describingthis polyhedron. When k is even, we provide a system with integer coefficients that istotally dual integral whenever the graph is series-parallel. When k is odd, we prove thatthe system known for describing this polyhedron for series-parallel graph is totally dualintegral if and only if the graph is series-parallel.
Dans cette thèse nous nous intéressons aux systèmes total dual intégraux (TDI) et aux polyèdres total dual box-intégraux (box-TDI) en lien avec les multicoupes. Dans un premier temps, nous considérons le cône des flots, c'est-à-dire le cône généré par les vecteurs d'incidence des flots et des arêtes du graphe. Ce cône est box-TDI si et seulement si le graphe associé est série-parallèle. En premier lieu, nous fournissons un système d’inégalités associées aux multicoupes du graphe qui décrit le cône des flots. Ce système est à coefficients entiers et il est TDI si et seulement si le graphe est série-parallèle. En outre, lorsque le graphe est série-parallèle, nous donnons une description du cône des flots à l'aide du système de Schrijver, qui est l'unique système TDI à coefficients entiers dont la suppression de n'importe quelle inégalité détruit le caractère TDI. Deuxièmement, nous étudions le polyèdre des sous-graphes k-arête-connexes Pĸ(G).Nous montrons que P1(G) est un polyèdre box-TDI pour n'importe quel graphe G. Ensuite, nous montrons que, pour chaque k fixé, Pĸ(G) est box-TDI si et seulement si G est un graphe série-parallèle. La description de Pĸ(G) dépendant de la parité de k, nous étudions séparément les cas lorsque k est pair et impair. Pour k pair, nous fournissons un système à coefficients entiers qui est TDI si le graphe G est série-parallèle. Finalement, quand k est impair, nous montrons que le système à coefficients entiers qui décrit Pĸ(G) est TDI si et seulement si G est série-parallèle
Origine : Version validée par le jury (STAR)