New methods in forcing iteration and applications
Nouvelles méthodes d’itération de forcing et applications
Résumé
This thesis concerns forcing iterations using virtual models as side conditions. The ultimate goal of such techniques is to achieve a higher forcing axiom. In the firstchapter, we present the necessary materials, including definitions and lemmata for the later chapters. The chapter two contains the scaffolding poset which is a warmup for the later constructions. The notion of a virtual model and its properties are introduced and investigated extensively in the third chapter, where we also study how the virtual models of different types interact. We then introduce, in the fourth chapter, the forcing notion consisting of pure side conditions which are finite sets of countable virtual models and Magidor models. In the chapter five, we plug forcings in our construction from the fourth chapter to form an iteration using virtual models, we analyze properties of our iteration and its quotients by Magidor models suchas the ω1-approximation. The iteration indeed gives a forcing axiom for a certain class of proper forcings which is compatible with 2ℵ0 > @2. The chapter six is devotedto the study of guessing models and their specialization, we introduce certain combinatorial principles in terms of guessing models which can be considered as consequencesof a higher forcing axiom. We shall show their consistency and state their consequences concerning the approachability ideal, Abraham’s maximality principle etc.
Dans cette thèse on considère l’itération de forcing en utilisant des modèles virtuels comme conditions latérales. Le but ultime de ces techniques est de trouver un axiome de forcing supérieur. Dans le premier chapitre, nous présentons les matériaux nécessaires, y compris les définitions et les lemmes pour les chapitres suivants. Le deuxième chapitre contient quelques constructions avec des conditions latérales appelées scaffolding poset; c’est un échauffement pour les constructions compliquées des chapitres suivants. La notion de modèle virtuel et ses propriétés sont introduites et étudiées en détail dans le troisième chapitre, où nous étudions également la manière dont les modèles virtuels de différents types interagissent. Nous introduisons ensuite dans le chapitre quatre la notion de forcing qui consiste à les conditions latérales pures qui sont des ensembles finis de modèles dénombrables et de modèles Magidor. Dans le chapitre cinq, nous avons intégré des forcings dans la construction du chapitre quatre pour former une itération, nous analysons les propriétés de l’itération et de ses quotients par des modèle Magidors, par exemple la propriété de ω1-approximation. L’itération donne en effet un axiome de forcing pour une certaine classe de forcings propres qui est compatible avec 2ℵ0 > @2. Le dernier chapitre est consacré à l’étude des modèles d’estimation, nous introduisons certains principes combinatoires en termes de modèles de devinettes qui peuvent être considérés comme les conséquences d’un axiome de forcing supérieur. Nous montrons leur cohérence et énonçons leurs conséquences concernant l’idéal des points approchables, le principe de maximalité d’Abraham etc.
Origine : Version validée par le jury (STAR)