Spectral analysis of random geometric graphs
Analyse spectrale de graphes géométriques aléatoires
Résumé
We study random geometric graphs (RGGs) to address key problems in complex networks. An RGG is constructed by uniformly distributing n nodes on a torus of dimension d and connecting two nodes if their distance does not exceed a certain threshold. Three regimes for RGGs are of particular interest. The connectivity regime in which the average vertex degree a_n grows logarithmically with n or faster. The dense regime in which a_n is linear with n. The thermodynamic regime in which a_n is a constant. We study the spectrum of RGGs normalized Laplacian (LN) and its regularized version in the three regimes. When d is fixed and n tends to infinity we prove that the limiting spectral distribution (LSD) of LN converges to Dirac distribution at 1 in the connectivity regime. In the thermodynamic regime we propose an approximation for LSD of the regularized NL and we provide an error bound on the approximation. We show that LSD of the regularized LN of an RGG is approximated by LSD of the regularized LN of a deterministic geometric graph (DGG). We study LSD of RGGs adjacency matrix in the connectivity regime. Under some conditions on a_n we show that LSD of DGGs adjacency matrix is a good approximation for LSD of RGGs for n large. We determine the spectral dimension (SD) that characterizes the return time distribution of a random walk on RGGs. We show that SD depends on the eigenvalue density (ED) of the RGG normalized Laplacian in the neighborhood of the minimum eigenvalues. Based on the analytical eigenvalues of the normalized Laplacian we show that ED in a neighborhood of the minimum value follows a power-law tail and we approximate SD of RGGs by d in the thermodynamic regime.
Nous étudions le graphe géométrique aléatoire (GGA) afin d'aborder des problèmes clés dans les réseaux complexes. Un GAA est construit en distribuant uniformément n nœuds sur un tore de dimension d et en connectant deux nœuds si leur distance ne dépasse pas un seuil. Trois régimes pour GGA présentent un intérêt particulier. Le régime de connectivité dans lequel le degré moyen d'un nœud a_n croît de manière logarithmique avec n ou plus vite. Le régime dense dans lequel a_n est linéaire avec n. Le régime thermodynamique dans lequel a_n est une constante. On étudie le spectre du Laplacien normalisé (LN) et régularisé du GGA dans les trois régimes. Lorsque d est fixe et n tend vers l'infini, on prouve que la distribution spectrale limite (DSL) du LN converge vers la distribution de Dirac concentrée en 1 dans le régime de connectivité. Dans le régime thermodynamique, on propose une approximation pour DSL du LN régularisé et on fournit une borne d'erreur sur l'approximation. On montre que DSL du LN régularisé d'un GGA est approximée par DSL d'un graphe géométrique déterministe (GGD). On étudie DSL de la matrice d'adjacence d'un GGA dans le régime de connectivité. Sous des conditions sur a_n, on montre que DSL de la matrice d'adjacence du GGD est une bonne approximation du GGA pour n large. On détermine la dimension spectrale (DS) qui caractérise la distribution du temps de retour d'une marche aléatoire sur le GGA. On montre que DS dépend de la densité spectrale de LN au voisinage des valeurs propres minimales. On prouve que la densité spectrale au voisinage de la valeur minimale suit une loi de puissance et que DS du GGA est approximé par d dans le régime thermodynamique.
Origine : Version validée par le jury (STAR)