Qualitative study of three nonlinear parabolic problems
Étude qualitative de trois problèmes paraboliques non-linéaires
Résumé
This thesis is concerned with the study of three nonlinear parabolic problems : We start with a mathematical model for a micro-electro-mechanical system (MEMS) with variable dielectric permittivity. The model is based on a parabolic equation with singular nonlinearity which describes the dynamic deffection of an elastic plate under the effect of an electrostatic potential. We study the touchdown, or quenching, phenomenon. With the aim of controlling the touchdown set, we give results concerning the touchdownl ocalization in terms of the permittivity profile. In the second part of the thesis, we study a diffusive Hamilton-Jacobi equation in a bounded domain with zero Dirichlet boundary conditions. We analyze the gradient blow-up (GBU) that solutions can exhibit on the boundary of the domain. In a previous work, it was shown that single-point GBU solutions can be constructed in very particular domains, namely, locally fat domains and disks. We prove the existence of this kind ofsolutions for a large family of domains, for which the curvature of the domain may be nonconstant near the GBU point. In the last part of the thesis, we study the evolution problem associated to the j-th eigenvalue of the Hessian matrix. First, we show the existence of a (unique) viscosity solution, which can be approximated by the value function of a two-player zero-sumgame as the step length of the game goes to zero. Then, we show that solutions to this evolution problem converge exponentially fast to the unique stationary solution as t goes to ∞. Finally, we show that in some special cases (for affine boundary data) the solution coincides with the stationary solution in finite time.
Cette thèse est consacrée à l'étude de trois problèmes paraboliques non linéaires : Premièrement, nous considérons un modèle de systèmes micro-électro-mécaniques (MEMS) avec permittivité diélectrique variable. Le modèle est basé sur une équation parabolique avec non-linéarité singulière, qui décrit la déformation dynamique d'une plaque élastique sous les effets d'un potentiel électrostatique. Nous étudions le phénomène de touchdown, ou quenching. Avec le but de contrôler l'ensemble de touchdown, nous donnons des résultats concernant la localisation du touchdown, en termes du profil de permittivité. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions une équation de Hamilton-Jacobi avec diffusion dans un domaine borné avec conditions de Dirichlet nulles au bord. On analyse l'explosion du gradient (GBU) qui peut avoir lieu sur le bord du domaine. Dans un article précédent, il a été démontré, pour des domaines très particuliers (domaines localement plats et disques), qu'il est possible de construire des solutions pour lesquelles l'ensemble de GBU est réduit à un seul point. Nous démontrons qu'il est possible de construire ce type de solutions pour une large classe de domaines, où la courbure n'est pas forcement constante près du point de GBU.Dans la dernière partie de la thèse, nous étudions le problème d'évolution associé à la j-ème valeur propre de la matrice Hessienne. On démontre tout d'abord l'existence d'une (unique) solution de viscosité, qui peut être approximée par la fonction valeur d'un jeu à deux joueurs et somme nulle, quand la longueur du pas du jeu tend vers 0.On démontre ensuite la convergence exponentielle des solutions du problème d'évolution vers l'unique solution stationnaire. Finalement, pour des cas particuliers (avec données au bord affines), on démontre que la solution coïncide avec la solution stationnaire en temps fini.
Origine : Version validée par le jury (STAR)