Results on the singular extension of Artin groups and virtual braid groups
Résultats sur les extensions singulières des groupes d'Artin et de tresses virtuelles
Résumé
This thesis offers to study two objects related to singular braid monoids, the desingularization map and the family of Vassiliev invariants, in the respective framework of the singular Artin monoids and the singular virtual braid monoids. In the first chapter, we recall the definitions of these two objects in their original setting, namely the setting of the singular braid monoids which are extensions of the braid groups, before stating the problems which are related to these objects, i.e. deciding whether the desingularization map is one-to-one and whether the Vassilev invariants separate the (classical or singular) braids, as well as the results that answer them. In the second chapter, we give the basics of the theory of Artin groups and the definition of the main families of Artin groups before recalling the definition of the singular extension of an Artin group. We prove a singular version of Van der Lek's theorem on parabolic subgroups of an Artin group for singular Artin monoids of FC type and of affine type. We recall that it is still possible to define in this new framework a desingularization map, Vassiliev invariants and to state the same problems as in the framework of braids, and after giving the results already known about these problems for right angle Artin groups and Artin groups of type I, we prove that the desingularization maps for Artin groups of type A affine are one-to-one and that the Vassiliev invariants respectively of Artin groups of type A affine and of type B separate the elements of these groups. In the third and furth chapter, we recall the definitions of the virtual braid groups, which are other extensions of braid groups, and the singular virtual braid monoids related to them. We show that the singular virtual braid monoids are indeed common extensions of the virtual braid groups and of the singular braid monoids. We then extend to singular virtual braids the combinatorial and topological interpretation (respectively in terms of Gauss diagrams and in terms of stable classes of abstract braids) which was already known for virtual braids. Finally, after defining the desingularization map and the Vassilev invariants for virtual braids, we show that the resolution of the problems related to these objects is equivalent to the resolution of the same problems for a family of Artin groups which appears to be subgroups of the virtual braid groups. We end the thesis with a study on the embeddability of a monoid in its enveloping group, on which several results of the thesis are based on.
Cette thèse se propose d’étudier deux objets liés aux monoïdes de tresses singulières, le morphisme de désingularisation et la famille des invariants de Vassiliev, transposés dans les cadres respectifs des monoïdes d’Artin singuliers et des monoïdes de tresses virtuelles singulières. Dans le premier chapitre, on rappelle les définitions de ces deux objets dans leur contexte d'origine, celui des monoïdes de tresses singulières qui sont des extensions des groupes de tresses, puis celles des principales problématiques s'y rapportant, qui sont la déterminations de l'injectivité du morphisme de désingularisation et de la séparabilité des tresses (classiques ou singulières) par les invariants de Vassiliev, ainsi que les résultats qui répondent à ces problématiques. Dans le second chapitre, on redonne les fondamentaux de la théorie des groupes d'Artin et les définitions des principales familles de groupes d'Artin avant de rappeler la définition d'extension singulière associée à un groupe d'Artin. On démontre alors l'analogue singulier du résultat de Van der Lek sur les sous-groupes paraboliques d'un groupe d'Artin pour les monoïdes singuliers d'Artin de type FC et de type affine. On rappelle qu'il est également possible dans ce nouveau contexte de définir un morphisme de désingularisation, des invariants de Vassiliev ainsi que de reformuler les mêmes problématiques que dans le cades des tresses, et après avoir redonné les résultats connus sur ces problématiques pour les groupes d'Artin angle droit et les groupes d'Artin de type I, on démontre l'injectivité du morphisme de désingularisation pour les groupes d'Artin de type A affine ainsi que la séparabilité des éléments des groupes de type A affine et de type B par leurs invariants de Vassiliev respectifs. Dans les troisième et quatrièmes chapitres, on rappelle les définitions des groupes de tresses virtuelles, qui sont d'autres extensions des groupes de tresses, et des monoïdes de tresses virtuelles singulières qui leur sont associés. On démontre que les monoïdes de tresses virtuelles singulières sont bien des extensions communes aux groupes de tresses virtuelles et aux monoïdes de tresses singulières. On étend ensuite aux tresses virtuelles singulières les interprétations combinatoires (en termes de diagrammes de Gauss) et topologiques (en termes de classes stables de tresses abstraites) déjà connues pour les tresses virtuelles. Enfin, après avoir redéfini le morphisme de désingularisation et les invariants de Vassiliev pour les tresses virtuelles, on montre que la résolution des problématiques qui y sont liées est équivalente à la résolution de ces mêmes problématiques pour une famille de groupes d'Artin particuliers qui sont des sous-groupes des groupes de tresses virtuelles. On conclut la thèse par une étude sur le problème de la plongeabilité d'un monoïde dans sa monoïde dans son groupe enveloppant sur laquelle on s'appuie pour démontrer certains résultats de la thèse.
Domaines
Théorie des groupes [math.GR]
Origine : Version validée par le jury (STAR)