Compatible Discrete Operator schemes for the unsteady incompressible Navier–Stokes equations

Schémas Compatible Discrete Operator pour les équations de Navier–Stokes d’un fluide incompressible en régime instationnaire

Riccardo Milani (1, 2, 3)

1 CERMICS - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique
2 SERENA - Simulation for the Environment: Reliable and Efficient Numerical Algorithms
3 EDF R&D MFEE - Mécanique des Fluides, Energies et Environnement

We develop face-based Compatible Discrete Operator (CDO-Fb) schemes for the unsteady, incompressible Stokes and Navier–Stokes equations. We introduce operators discretizing the gradient, the divergence, and the convection term. It is proved that the discrete divergence operator allows one to recover a discrete inf-sup condition. Moreover, the discrete convection operator is dissipative, a paramount property for the energy balance. The scheme is first tested in the steady case on general and deformed meshes in order to highlight the flexibility and the robustness of the CDO-Fb discretization. The focus is then moved onto the time-stepping techniques. In particular, we analyze the classical monolithic approach, consisting in solving saddle-point problems, and the Artificial Compressibility (AC) method, which allows one to avoid such saddle-point systems at the cost of relaxing the mass balance. Three classic techniques for the treatment of the convection term are investigated: Picard iterations, the linearized convection and the explicit convection. Numerical results stemming from first-order and then from second-order time-schemes show that the AC method is an accurate and efficient alternative to the classical monolithic approach.

Nous développons des schémas dits face-based Compatible Discrete Operator (CDO-Fb) pour les équations de Stokes et Navier–Stokes incompressibles en régime instationnaire. Des opérateurs pour la reconstruction du gradient, de la divergence et un autre pour le terme de convection sont proposés. On montre que l’opérateur de divergence discret permet de satisfaire une condition inf-sup, tandis que l’opérateur de convection discret est dissipatif, propriété cruciale pour le bilan d’énergie. Le schéma de discrétisation est d’abord testé dans le cas stationnaire sur des maillages généraux mais aussi déformés, afin d’illustrer la flexibilité et la robustesse de la discrétisation CDO-Fb. Dans un deuxième temps, l’attention est placée sur les techniques de marche en temps. En particulier, nous étudions l’approche monolithique traditionnelle qui consiste à résoudre directement le système de point-selle, et la méthode de Compressibilité Artificielle (AC), qui permet de ne plus avoir un système de point-selle à résoudre au prix d’une relaxation du bilan de masse. Trois stratégies classiques pour le traitement du terme non linéaire dû à la convection sont examinées : l’algorithme de Picard, la linéarisation et l’explicitation. Des résultats numériques utilisant des schémas temporels du premier ordre d’abord, puis du deuxième ordre, montrent que la méthode AC constitue une alternative précise et efficace à l’approche monolithique traditionnelle.

Mots clés: Convection; Inf-sup condition; Artificial Compressibility; Navier–Stokes; Polyhedral meshes; CDO schemes

Mots clés: Convection; Condition inf-sup; Compressibilité Artificielle; Navier–Stokes; Maillages polyédriques; Schémas CDO

Domaines: Analyse numérique [math.NA]; Mécanique des fluides [physics.class-ph]

Riccardo Milani. Compatible Discrete Operator schemes for the unsteady incompressible Navier–Stokes equations. Numerical Analysis [math.NA]. Université Paris-Est, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03080530v2⟩