Mathematical derivation of the Boltzmann equation with boundary condition
Etude mathématique de la dérivation de l'équation de Boltzmann dans un domaine à bord
Résumé
The Boltzmann equation is a model introduced in order to describe diluted gases. The solutions of this equation present an interesting behaviour: they converge irreversibly towards a determined equilibrium. However, the Boltzmann equation is formally obtained using a microscopic description of the matter, in which the interactions between the atoms constituting the gas are time-reversible. From this paradox has emerged the question of a mathematically rigorous derivation of the Boltzmann equation.In this work one has obtained such a derivation in the case of a domain with a boundary (Lanford obtained this derivation in the case when the domain is the whole Euclidean space, which was historically speaking the first rigorous derivation of the Boltzmann equation), by prescribing the specular reflexion as the way the particles and the boundary of the domain interact. The domain here will be the half-space.This derivation is using sequences of equations, namely the BBGKY and the Boltzmann hierarchies. After a presentation of the formal derivation of those hierarchies in the case of a domain with boundary, one has carefully addressed the rigorous definition of those hierarchies, detailing the appropriate functional setting. In a second part, the proof of the convergence of the solutions of the BBGKY hierarchy towards the solutions of the Boltzmann hierarchy is presented exhaustively. In particular, the geometrical control of the recollisions in the case of the half-space has been written in the most comprehensive way
Ce travail s’inscrit dans le cadre de l’analyse des équations cinétiques, qui sont un cas particulier d’équations aux dérivées partielles. L’équation de Boltzmann se propose de modéliser des gaz fortement dilués. Ses solutions présentent un comportement intéressant, aussi bien du point de vue physique que mathématique : elles évoluent de façon irréversible vers un état d’équilibre bien déterminé. Cependant, l’équation de Boltzmann est obtenue formellement à partir d’une modélisation microscopique de la matière, où les interactions entre les atomes constituant le gaz étudié sont temporellement réversibles. De ce paradoxe apparent est née la motivation d’une obtention (on parle de dérivation) mathématiquement rigoureuse de l’équation de Boltzmann.Ce manuscrit s’attache à obtenir cette dérivation dans le cadre d’un domaine à bord (précédemment obtenue par Lanford dans le cas d’un domaine sans bord, qui est historiquement le premier résultat d’une dérivation rigoureuse de l’équation de Boltzmann) avec lequel les particules, modélisées par des sphères dures, interagissent par réflexion spéculaire. Le domaine étudié ici sera le demi-espace.Cette dérivation s’appuie sur l’étude de suites d’équations, les hiérarchies BBGKY et de Boltzmann. Après une présentation de l’obtention formelle de ces hiérarchies dans le cas d’un domaine à bord, un soin tout particulier a été apporté à la définition rigoureuse de ces hiérarchies dans un cadre fonctionnel approprié. Dans une seconde partie, la preuve de la convergence des solutions de la hiérarchie BBGKY vers celles de la hiérarchie de Boltzmann est présentée en détail. En particulier, le contrôle géométrique des recollisions dans le cas du demi-espace est traité de la façon la plus exhaustive possible.
Origine : Version validée par le jury (STAR)