Stokes equations in an exterior domain with Navier boundary conditions
Équations de Stokes en domaine extérieur avec des conditions aux limites de type Navier
Résumé
In this manuscript, we study the three-dimensional stationary Stokes equations set in a exterior domain. The problem describes the flow of a viscous and incompressible fluid past a bounded obstacle. The distinctif feature here relies on the fact that the obstacle is assumed to a rough boundary. As a result, the fluid may slip on the boundary of the obstacle and, to take into account this property, we use the Navier boundary conditions. On the one hand, They model the impermeability of the obstacle, and on the other hand, the fact that the tangential component of the fluid velocity on the obstacle is proportional to the stress tensor. This problem has been well studied when set in a bounded domain. The standard Sobolev spaces provides, in this case, an adequate functional framework for a complete study. Since in our case, the domain is unbounded, these spaces are not adapted since it is necessary to describe the behaviour of the solutions to infinity. Therefore, we choose to set the problem in weighted Sobolev spaces where the weights describe the behaviour at infinity of the function (growth or decay).In this work, we first start by performing the mathematical analysis in the Hilbert setting. The key point here is to establish variant weighted Korn’s inequalities in order to get the coercivity of the bilinear form associated to the variational formulation. Next, we proved the existence, uniqueness of strong and very weak solutions. Finally, we study the extension of some of thses results to a weightedL^p-theory.
On s'intéresse aux équations stationnaires de Stokes posées dans un domaine extérieur tridimensionnel décrivant l'écoulement d'un fluide visqueux et incompressible autour d'obstacle supposé borné. La particularité ici réside dans les conditions au bord de l'obstacle que nous avons imposées. En effet, nous supposons que l'obstacle a une certaine rugosité et par conséquent, le fluide n'adhère pas au bord de l'obstacle mais, au contraire, il existe une friction dont on suppose décrite par les conditions aux limites de type Navier. Ces dernières modélisent d'une part l'imperméabilité de l'obstacle et d'autre part le fait que la composante tangentielle de la vitesse du fluide sur l'obstacle est proportionnelle au tenseur des déformations. Ce problème a été bien étudié lorsqu'il est posé dans un domaine borné. Les espaces de Sobolev classiques fournissent, dans ce cas, un cadre fonctionnel adéquat pour une étude complète. Cependant lorsque le domaine n'est pas borné, ces espaces ne sont plus adaptés car il est nécessaire de décrire le comportement à l'infini des solutions. On choisit alors de poser le problème dans des espaces de Sobolev avec des poids polynomiaux qui précisent la croissance ou la décroissance des fonctions à l'infini. Dans ce travail, nous commençons par effectuer une analyse hilbertienne du problème. Le point-clé ici est d'établir des inégalités de type Korn avec poids afin d'obtenir la coercivité de la forme bilinéaire associée à la formulation variationnelle. Nous continuons par démontrer des résultats d'existence, d'unicité et de régularité de solutions fortes et très faibles. Enfin, nous étudions l'extension de certains résultats en théorie L^p.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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