Rapid stabilization of Burgers equations and of Korteweg-de Vries equations

Stabilisation rapide d'équations de Burgers et de Korteweg-de Vries

Shengquan Xiang (1, 2)

1 LJLL (UMR_7598) - Laboratoire Jacques-Louis Lions
2 CaGE - Control And GEometry

This thesis is devoted to the study of stabilization of partial differential equations by nonlinear feedbacks. We are interested in the cases where classical linearization and stationary feedback law do not work for stabilization problems, for example KdV equations and Burgers equations. More precisely, it includes three important cases : stabilization of nonlinear systems whose linearized systems are not asymptotically stabilizable ; small-time local stabilization of linear controllable systems ; small-time global stabilization of nonlinear controllable systems. We find a strategy for the small-time global stabilization of the viscous Burgers equation : small-time global approximate stabilization and small-time local stabilization. Moreover, using a quadratic structure, we prove that the KdV system is exponentially stabilizable even in the case of critical lengths.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilisation d'équations aux dérivées partielles par feedbacks non linéaires. Nous nous intéressons aux cas où la technique de linéarisation et l'utilisation de feedback stationnaire ne fonctionnent pas pour des problèmes de stabilisation, par exemple des équations de Korteweg-de Vries (KdV) et des équations de Burgers. Plus précisément, nous traitons trois cas importants : la stabilisation de systèmes non linéaires dont les systèmes linéarisés ne sont pas stabilisables asymptotiquement ; la stabilisation locale en temps petit de systèmes contrôlables linéaires ; la stabilisation globale en temps petit de systèmes contrôlables non linéaires. En particulier, nous trouvons une stratégie pour la stabilisation globale en temps petit de l'équation de Burgers visqueuse. Elle repose sur la stabilisation globale approchée en temps petit et sur la stabilisation locale en temps petit. De plus, nous prouvons que le système de KdV même pour des longueurs critiques est stabilisable de manière exponentielle. Nous utilisons pour cela une structure quadratique de la dynamique de la partie dont le linéarisé n'est pas contrôlable.

Mots clés: Controllability; Stabilization; Nonlinear feedback; Burgers; KdV; Partial differential equations; Small-time

Mots clés: Contrôlabilité; Stabilisation; Feedback non linéaire; Burgers; KdV; Équations aux dérivées partielles; Rapide

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Optimisation et contrôle [math.OC]

Shengquan Xiang. Rapid stabilization of Burgers equations and of Korteweg-de Vries equations. Analysis of PDEs [math.AP]. Sorbonne Université, 2019. English. ⟨NNT : 2019SORUS422⟩. ⟨tel-03004788⟩