Study of a linear forward error corrector code for the binary erasure channel and optimisation by counting spanning forests and modular calculus
Etude d’un code correcteur linéaire pour le canal à effacements de paquets et optimisation par comptage de forêts et calcul modulaire
Résumé
Reliably transmitting information over a transmission channel is a recurrent problem in Informatic Sciences. Whatever may be the channel used to transmit information, we automatically observe erasure of this information, or pure loss. Different solutions can be used to solve this problem, using forward error correction codes is one of them. In this thesis, we study a corrector code developped in 2014 and 2015 for Thales society during my second year of master of apprenticeship. It is currently used to ensure the reliability of a transmission based on the UDP protocole, and passing by a network diode, Elips-SD. Elip-SD is an optical diode that can be plugged on an optical fiber to physically ensure that the transmission is unidirectional. The main usecase of such a diode is to enable supervising a critical site, while ensuring that no information can be transmitted to this site. At the opposite, another usecase is the transmission from one or multiple unsecured emitters to one secured receiver who wants to ensure that no information can be robbed. The corrector code that we present is a linear corrector code for the binary erasure channel using packets, that obtained the NATO certification from the DGA ("Direction Générale de Armées" in French). We named it Fauxtraut, for "Fast algorithm using Xor to repair altered unidirectional transmissions". In order to study this code, presenting how it works, its performance and the modifications we added during this thesis, we first establish a state of the art of forward error correction, focusing on non-MDS linear codes such as LDPC codes. Then we present Fauxtraut behavior, and analyse it theorically and with simulations. Finally, we present different versions of this code that were developped during this thesis, leading to other usecases such as transmitting reliable information that can be altered instead of being erased, or on a bidirectionnal channel, such as the H-ARQ protocole, and different results on the number of cycles in particular graphs. In the last part, we present results that we obtained during this thesis and that finally lead to an article in the Technical Computer Science. It concerns a non-polynomial problema of Graphs theorie : maximum matching in temporal graphs. In this article, we propose two algorithms with polynomial complexity : a 2-approximation algorithm and a kernelisation algorithm forthis problema.
La transmission fiable de données sur un canal de transmission est un problème récurrent en Informatique. En effet, quel que soit le canal de transmission employé, on observe obligatoirement de la détérioration de l’information transmise, voire sa perte pure et simple. Afin de palier à ce problème, plusieurs solutions ont été apportées, notamment via l’emploi de codes correcteurs. Dans cette thèse, nous étudions un code correcteur développé en 2014 et 2015 pour l’entreprise Thales durant ma deuxième année de Master en apprentissage. Il s’agit d’un code actuellement utilisé par Thales pour fiabiliser une transmission UDP passant par un dispositif réseau, l’Elips-SD. L’Elips-SD est une diode réseau qu’on place sur une fibre optique et qui garantit physiquement que la transmission est unidirectionnelle. Le cas d’utilisation principal de cette diode est de permettre le suivi de la production d’un site sensible, ou encore de superviser son fonctionnement, tout en garantissant à ce site une protection face aux intrusions extérieures. A l’opposé, un autre cas d’utilisation est la transmission de données depuis un ou plusieurs sites non-sécurisés vers un site sécurisé, dont on souhaite s’assurer qu’aucune information ne pourra par la suite fuiter. Le code correcteur que nous étudions est un code correcteur linéaire pour le canal à effacements de paquets, qui a reçu la certification OTAN de la Direction Générale des Armées. Nous l’avons babtisé "Fauxtraut", anagramme de "Fast algorithm using Xor to repair altered unidirectionnal transmissions". Afin d’étudier ce code correcteur, de présenter son fonctionnement et ses performances, et les différentes modifications apportées durant cette thèse, nous établissons tout d’abord un état de l’art des codes correcteurs, en nous concentrant principalement sur les codes linéaires non-MDS, tels que les codes LDPC. Puis nous présentons le fonctionnement de Fauxtraut, et analysons son comportement (complexité, consommation mémoire, performances) par la théorie et par des simulations. Enfin, nous présenterons différentes versions de ce code correcteur développées durant cette thèse, qui aboutissent à d’autres cas d’utilisation, tels que la transmission d’information sur un canal unidirectionnel à erreurs ou sur un canal bidirectionnel, à l’image de ce que permet de faire le protocole H-ARQ. Dans cette partie, nous étudierons notamment le comportement de notre code correcteur via la théorie des graphes : calculer la probabilité de décoder convenablement ou non revient à connaître la probabilité d’apparition de cycles dans le sous-graphe de graphes particuliers, les graphes de Rook et les graphes bipartis complets. Le problème s’énonce simplement et s’avère compliqué, et nous espérons qu’il saura intéresser des chercheurs du domaine. Nous présentons une méthode permettant de calculer exactement cette probabilité pour de petits graphes (qui aboutit à un certain nombre de formules closes), et une fonction tendant asymptotiquement vers cette probabilité pour de plus grands graphes. Nous étudierons aussi la manière de paramétrer automatiquement notre code correcteur par le calcul modulaire et la combinatoire, utilisant la fonction de Landau, qui retourne un ensemble de nombres entiers dont la somme est fixée et le plus commun multiple est maximal. Dans une dernière partie, nous présentons un travail effectué durant cette thèse ayant conduit à une publication dans la revue Theoretical Computer Science. Il concerne un problème non-polynomial de la théorie des graphes : le couplage maximal dans les graphes temporels. Cet article propose notamment deux algorithmes de complexité polynomiale : un algorithme de 2-approximation et un algorithme de kernelisation pour ce problème. L’algorithme de 2- approximation peut notamment être utilisé de manière incrémentale : arêtes du flot de liens nous parviennent les unes après les autres, et on construit la 2-approximation au fur et à mesure de leur arrivée.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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