Higher Hida Theory on Unitary Group GU (2,1)
Théorie de Hida supérieur pour le groupe unitaire GU (2,1)
Résumé
In their breakthrough work, Calegari and Geraghty have shown how to bypass some serious restrictions of the original method by Taylor-Wiles, thus allowing us to attack more general modularity conjectures and related questions. Their method hinges on two conjectures, one is related to the problem of attaching Galois representations to torsion classes in the cohomology of Shimura varieties and the other to the requirement that these cohomology groups, localised at an appropriate ideal are non zero only in a certain range. The first conjecture is addressed in a great generality by Peter Scholze, but the second remains elusive. Recently, for coherent cohomology, inspired by the classical Hida theory, Vincent Pilloni has proposed a method consisting of p-adically interpolating the entire complex of coherent sheaves of automorphic forms on the Siegel threefold. This serves as a way to get around the second conjecture above and plays a crucial role in a recent work, where they show that abelian surfaces over a totally real field are potentially modular. In this thesis, we adapt the argument of Pilloni to construct a Hida complex interpolating classes in higher cohomology groups of the Picard modular surface. In a future work, we hope to use this to obtain some similar modularity results for abelian three-folds arising as Jacobians of some Picard curves.
Le travaux récent de Calegari et Geraghty ont enlevé les restrictions de la méthode originale de Taylor-Wiles, cela nous permet d’attaquer les conjectures de modularité plus générales. Leur méthode se fonde sur deux autres conjectures, l'une est reliée au problème d'attacher les représentations galoisiennes aux classes de torsion dans le groupe de cohomologie de la variété de Shimura sous entendue et l'autre à la dégrée de concentration de ces groupes de cohomologie localisés. La première conjecture a été adressée dans une grande généralité par Peter Scholze mais la seconde reste évasive. Récemment, pour la cohomologie cohérente, Vincent Pilloni a développé une version de la théorie de Hida pour les groupes de cohomologie supérieurs qui construit une interpolation p-adique du complexe de cohomologie en question. Comme une application importante, nous pouvons contourner la second conjecture au dessus et en effet dans un travail commun récent, Vincent Pilloni avec ses collaborateurs ont montré que toutes les variétés abéliennes sur un corps totalement réel est potentiellement modulaire. Dans cette thèse, nous adaptons l'argument de Vincent Pilloni pour construire un complexe qui interpole les classes de cohomologie supérieurs de la variété de Picard. Ces résultats servent comme le premier pas vers la modularité potentielle des variétés abéliennes de dimension 3 qui proviennent des Jacobiens de la courbe de Picard.
Origine : Version validée par le jury (STAR)