From planar graphs to higher dimension
Des graphes planaires vers des dimensions supérieures
Résumé
In this thesis we look for generalizations of some properties of planar graphs to higher dimensions by replacing graphs by simplicial complexes.In particular we study the Dushnik-Miller dimension which measures how a partial order is far from being a linear order.When applied to simplicial complexes, this dimension seems to capture some geometric properties.In this idea, we disprove a conjecture asserting that any simplicial complex of Dushnik-Miller dimension at most d+1 can be represented as a TD-Delaunay complex in RR d, which is a variant of the well known Delaunay graphs in the plane.We show that any supremum section, particular simplicial complexes related to the Dushnik-Miller dimension, is collapsible, which means that it is possible to reach the single point by removing in a certain order the faces of the complex.We introduce the notion of stair packings and we prove that the Dushnik-Miller dimension is connected to contact complexes of such packings.We also prove new results on planar graphs.The two following theorems about representations of planar graphs are proved: any planar graph is an llcorner-intersection graph and any triangle-free planar graph is an {llcorner, | , -}-contact graph.We introduce and study a new notion on planar graphs called Möbius stanchion systems which is related to questions about unicellular embeddings of planar graphs.
Dans cette thèse on cherche à généraliser certaines propriétés des graphes planaires aux dimensions supérieures en remplaçant les graphes par des complexes simpliciaux. En particulier on étudie la dimension de Dushnik-Miller qui mesure à quel point un ordre partiel ressemble à un ordre total. Appliquée aux complexes simpliciaux, cette dimension semble capturer des propriétés géométriques. Concernant ce sujet, on infirme une conjecture assurant que n'importe quel complexe simplicial de dimension de Dushnik-Miller au plus d+1 peut être représenté par un complexe de TD-Delaunay dans RR d, qui est une variante des graphes de Delaunay dans le plan. On montre que toute section supremum, qui est un complexe simplicial particulier relié à la dimension de Dushnik-Miller, est ``collapsible'', c'est-à-dire que l'on peut atteindre un point unique en retirant dans le bon ordre les faces du complexe. On introduit la notion d'empilements d'escaliers et on démontre que la dimension de Dushnik-Miller est reliée aux complexes de contacts de tels empilements. On démontre aussi de nouveaux résultats sur les graphes planaires.Les deux résultats suivants sur la représentabilité des graphes planaires sont démontrés : tout graphe planaire est le graphe d'intersection de llcorner et tout graphe planaire sans triangle est le graphe de contact de {llcorner, | , -}. On introduit et étudie une nouvelle notion sur les graphes planaires que l'on appelle ``Möbius stanchion systems'' qui sont reliés à des questions sur les plongements unicellulaires des graphes planaires.
Origine : Version validée par le jury (STAR)